Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5, & x<2,\\-3x+7{,}5, & 2\le x\le 3,\\x-6, & x>3.\end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервая часть графика — луч прямой $y=2{,}5x-3{,}5$ при $x<2$. При $x=2$ значение равно $1{,}5$, но точка не входит в эту часть, поэтому её множество значений: $y<1{,}5$.
$$y<1{,}5$$Вторая часть — отрезок прямой $y=-3x+7{,}5$ при $2\le x\le3$. На концах отрезка получаем значения $1{,}5$ и $-1{,}5$, поэтому множество значений: $-1{,}5\le y\le1{,}5$.
$$y(2)=1{,}5,\quad y(3)=-1{,}5$$Третья часть — луч прямой $y=x-6$ при $x>3$. Значение $y=-3$ при $x=3$ не входит в область определения, поэтому множество значений этой части: $y>-3$.
$$y>-3$$Если $m<-3$ или $m=-3$, горизонтальная прямая имеет только одно пересечение с первой частью. При $-3<m<-1{,}5$ она пересекает первую и третью части, то есть имеет ровно две общие точки.
$$-3<m<-1{,}5$$При $m=-1{,}5$ прямая пересекает все три части. При $-1{,}5<m<1{,}5$ также имеются три общие точки. При $m=1{,}5$ первая часть точки не даёт, зато есть точка на второй части и точка на третьей части, поэтому пересечений ровно два.
$$m=1{,}5$$При $m>1{,}5$ горизонтальная прямая пересекает только третью часть графика.
$m\in(-3;-1{,}5)\cup\{1{,}5\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $y=1{,}5$ в первую часть, хотя условие содержит $x<2$.
Включают значение $y=-3$ в третью часть, хотя условие содержит $x>3$.
Не учитывают, что при $m=-1{,}5$ прямая пересекает все три части графика.
Записывают только интервал $(-3;-1{,}5)$ и забывают отдельное значение $m=1{,}5$.