Задания № 21, 22, 26 · ЕГЭ

Закон сохранения механической энергии

Как применять переход кинетической и потенциальной энергии при движении без трения

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Закон сохранения механической энергии позволяет решать задачи, в которых тело движется под действием сил тяжести или упругости, а потерями на трение можно пренебречь. В таких задачах кинетическая и потенциальная энергии переходят друг в друга, но их сумма остаётся постоянной.

Механическая энергия и условия сохранения

Механическая энергия системы складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии взаимодействия тел. Подробнее состав полной энергии разобран на странице полной механической энергии. В школьных задачах обычно рассматривают тело у поверхности Земли, пружину или систему тел.

Механическая энергия

Механическая энергия $E$ — физическая величина, равная сумме кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$: $E=E_k+E_p$.

Закон сохранения механической энергии

Если в системе действуют только консервативные силы, например сила тяжести или сила упругости, и отсутствуют потери на трение и сопротивление среды, полная механическая энергия сохраняется: сумма кинетической и потенциальной энергий в начальном и конечном состояниях одинакова.

\[E=E_k+E_p=\text{const}\]

\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]

Сохранение энергии не означает, что каждая её часть постоянна. При падении тела потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. При подъёме происходит обратное. Если трение существенно, используют потерю механической энергии и учитывают работу неконсервативных сил.

$E$

механическая энергия

Дж

$m$

масса

кг

$v$

скорость

м/с

$h$

высота

$k$

жёсткость пружины

Н/м

$x$

деформация пружины

Формулы энергий

Кинетическая энергия зависит от массы тела и квадрата скорости. Поэтому при увеличении скорости в два раза кинетическая энергия возрастает в четыре раза. Потенциальная энергия зависит от выбранного нулевого уровня: важна не сама высота, а её изменение.

\[E_k=\frac{mv^2}{2}\]

\[E_p=mgh\]

Здесь $h$ — высота тела над выбранным нулевым уровнем, $g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2$ или в экзаменационных задачах часто $g=10\ \text{м/с}^2$. Для пружины потенциальная энергия упругой деформации равна:

\[E_{p,\text{упр}}=\frac{kx^2}{2}\]

Как выбрать нулевой уровень

Нулевой уровень потенциальной энергии можно выбрать произвольно. Удобнее принять за $h=0$ нижнюю точку движения или конечное положение тела. Тогда одна из потенциальных энергий станет равной нулю, и уравнение будет короче.

При падении с высоты $h$ потенциальная энергия превращается в кинетическую.

Алгоритм решения задач

Энергетический метод особенно удобен, когда не требуется находить время движения или ускорение. Его последовательность совпадает с общим энергетическим методом решения задач, но для движения без потерь достаточно одного закона сохранения.

Выберите начальное и конечное состояния тела: например, верхнюю и нижнюю точки траектории.
Определите, какие виды энергии есть в каждом состоянии.
Выберите нулевой уровень потенциальной энергии и запишите высоты или деформации.
Запишите равенство $E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$.
Подставьте известные величины, выразите неизвестную и проверьте единицы измерения.

Если тело начинает движение из состояния покоя, в начальной точке $v_1=0$ и $E_{k1}=0$. Если в конечной точке оно остановилось, то $v_2=0$. Эти нулевые слагаемые нужно явно учитывать, чтобы не перепутать состояния.

Микро-проверка

Тело падает без сопротивления воздуха. Что происходит с его механической энергией?

Разобранный пример: скорость тела при падении

№

Условие

Камень массой $m=2\ \text{кг$}}$свободно падает с высоты$h=5\ \text{м}$без начальной скорости. Найдите скорость камня у поверхности Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь,$g=10\ \text{м/с}^2$.

Выберем поверхность Земли нулевым уровнем потенциальной энергии. В начальном состоянии камень покоится на высоте $h$, а в конечном состоянии находится на высоте $0$ и имеет скорость $v$.

Записываем закон сохранения механической энергии для верхней и нижней точек.

$\displaystyle E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$

В начальной точке $v_1=0$, в конечной точке $h_2=0$. Подставляем формулы энергий.

$\displaystyle 0+mgh=\frac{mv^2}{2}+0$

Масса сокращается. Умножаем равенство на $2$ и выражаем квадрат скорости.

$\displaystyle v^2=2gh$

Подставляем $g=10\ \text{м/с}^2$ и $h=5\ \text{м}$, затем извлекаем корень.

$\displaystyle v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\ \text{м/с}$

№

Ответ

Скорость камня у поверхности Земли равна $v=10\ \text{м/с}$. Масса в ответ не вошла: при отсутствии сопротивления скорость падения с данной высоты от массы тела не зависит.

Тот же результат можно получить через теорему об изменении кинетической энергии: работа силы тяжести равна увеличению кинетической энергии. Закон сохранения энергии обычно короче, если известны высоты и скорости.

Когда закон нужно изменить

Если действует сила трения, часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел. Тогда механическая энергия конечного состояния меньше начальной на модуль работы трения. В таком случае применяют формулу с потерями или отдельно вычисляют работу силы трения.

\[E_1=E_2+E_{\text{потерь}}\]

При столкновениях также важно различать сохранение механической энергии и сохранение полной энергии. При неупругом ударе механическая энергия обычно не сохраняется, хотя сохраняется импульс; часть энергии уходит на деформацию и нагрев. В задачах с пружиной потенциальная энергия появляется или исчезает за счёт работы силы упругости.

Частые ошибки

1. Записывают закон сохранения энергии при заметном трении, не добавляя потери. 2. Путают $mgh$ и $\frac{mv^2}{2}$. 3. Забывают возвести скорость в квадрат. 4. Используют разные единицы: сантиметры не переводят в метры, а скорость берут в км/ч вместо м/с. 5. Считают, что нулевой уровень высоты задан единственным образом. 6. Приравнивают энергии в точках, не указав, какие состояния сравниваются.

Главное правило

Сначала опишите два состояния системы словами, затем выпишите энергии каждого состояния и только после этого подставляйте числа. Это помогает не потерять знак, высоту или начальную скорость.

Связь с другими задачами механики

Закон сохранения энергии является одним из основных законов сохранения в механике. Он дополняет второй закон Ньютона: если нужно найти время, ускорение или силу, чаще используют уравнения динамики; если нужно связать скорость с высотой или деформацией, удобнее энергетический подход. Мощность и КПД описывают скорость передачи энергии и долю полезной энергии, поэтому эти темы изучают отдельно.

Для движения по вертикальной окружности сравнивают энергии в верхней и нижней точках, но дополнительно используют условие движения по окружности.
В баллистическом маятнике закон сохранения энергии применяют на отдельных этапах, а при ударе учитывают, что механическая энергия может не сохраниться.
При выводе второй космической скорости сравнивают кинетическую энергию тела с изменением гравитационной потенциальной энергии.

Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · Формулы

Какую энергию имеет тело массой $m$, движущееся со скоростью $v$?

Главное за минуту

Кратко

Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной: $E=E_k+E_p$.
Без трения и сопротивления выполняется $E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$.
Кинетическая энергия: $E_k=\frac{mv^2}{2}$; гравитационная потенциальная энергия: $E_p=mgh$; энергия пружины: $\frac{kx^2}{2}$.
Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают удобно; физический результат от выбора не зависит.
При трении добавляют потери механической энергии и не используют сохранение механической энергии в прежнем виде.