ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 26, 28, 29 · ЕГЭ

Энергетический метод шешімдер тапсырма

Алгоритм применения закона сохранения энергии и учёта работы неконсервативных сил
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Энергетический метод позволяет находить скорости, высоты и перемещения, не расписывая движение по отдельным осям. Его основа — сравнение начального и конечного состояний системы с учётом работы сил, которые изменяют механическую энергию.

Основные понятия и закон

Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий: кинетическая связана с движением, а потенциальная — с взаимным расположением тел или деформацией. В задачах обычно рассматривают систему «тело — Земля» или «тело — пружина». Подробнее о составляющих см. кинетической энергии системы и потенциальной энергии в поле тяжести.

D
Механическая энергия

Механическая энергия \(E\) — сумма кинетической энергии \(E_k\) и потенциальной энергии \(E_p\): \(E=E_k+E_p\). Она измеряется в джоулях (Дж).

\(E\)
механическая энергия
Дж
\(E_k\)
кинетическая энергия
Дж
\(E_p\)
потенциальная энергия
Дж
\(A\)
работа силы
Дж
\(m\)
масса
кг
\(v\)
скорость
м/с
T
Закон сохранения механической энергии

Если в системе действуют только консервативные силы — например, сила тяжести или сила упругости, — сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется: начальная механическая энергия равна конечной.

\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]1

Для поля тяжести около поверхности Земли \(E_p=mgh\), где высота отсчитывается от произвольно выбранного нулевого деңгейі. Для пружины \(E_p=\frac{kx^2}{2}\), где \(x\) — удлинение или сжатие относительно недеформированного состояния. Выбор нулевого уровня не меняет ответа, если он используется последовательно.

Неконсервативные силы и общий энергетический баланс

Сила трения, сопротивление воздуха и другие неконсервативные силы могут изменять механическую энергию системы. Поэтому нельзя автоматически приравнивать начальную и конечную механические энергии. Нужно добавить работу этих сил.

T
Общий энергетический баланс

Изменение механической энергии системы равно работе внешних и неконсервативных сил, если консервативные силы уже учтены через потенциальную энергию.

\[E_{k1}+E_{p1}+A_{\text{нк}}=E_{k2}+E_{p2}\]2

Здесь \(A_{\text{нк}}\) — суммарная работа неконсервативных сил. При трении скольжения \(A_{\text{тр}}=-F_{\text{тр}}s=-\mu N s\) на горизонтальном участке. Отрицательная работа означает уменьшение механической энергии. Этот результат связан с работой силы трения и с потерей механической энергии.

\[E_{\text{мех},2}-E_{\text{мех},1}=A_{\text{нк}}\]3
Как понять знак работы

Если неконсервативная сила направлена против перемещения, её работа отрицательна: механическая энергия убывает. Если сила совершает положительную работу, механическая энергия возрастает. Не путайте работу силы с величиной потери энергии: потеря обычно записывается положительным числом \(\Delta E_{\text{пот}}=-A_{\text{тр}}\).

Теорема о кинетической энергии также приводит к энергетическому уравнению, но через работы всех сил: изменение кинетической энергии равно их суммарной работе. Закон сохранения энергии удобнее, когда силы тяжести и упругости действуют на протяжении заметного пути и их удобно заменить потенциальной энергией.

Проверь себя

Тело скользит по горизонтали и останавливается из-за трения. Какова работа силы трения?

Алгоритм шешімдер тапсырма

  1. Выберите начальное и конечное состояния: обычно это моменты, когда известны скорость, высота или деформация.
  2. Определите систему и перечислите силы. Решите, какие силы консервативны и будут учтены потенциальной энергией, а какие нужно представить работой.
  3. Выберите нулевой уровень потенциальной энергии. Для движения по наклонной плоскости удобно взять уровень конечной точки или нижнюю точку траектории.
  4. Запишите энергии в начальном и конечном состояниях: \(E_k=\frac{mv^2}{2}\), \(E_{p,тяж}=mgh\), \(E_{p,упр}=\frac{kx^2}{2}\).
  5. Добавьте работу неконсервативных сил и составьте уравнение (2).
  6. Проверьте единицы, знак работы и физический смысл ответа. Скорость должна быть неотрицательной, а подкоренное выражение — неотрицательным.
\[\frac{mv_1^2}{2}+mgh_1+\frac{kx_1^2}{2}+A_{\text{нк}}=\frac{mv_2^2}{2}+mgh_2+\frac{kx_2^2}{2}\]
vhтрение
Схема движения тела по наклонной плоскости: скорость \(v\) направлена вниз, высота между уровнями равна \(h\).

Разобранный пример: движение с трением

№
Условие

Брусок массой \(m=2\,\text{кг\) соскальзывает с наклонной плоскости с высоты \(h=1{,}8\,\text{м}\). Длина плоскости \(s=3\,\text{м}\), коэффициент трения \(\mu=0{,}20\). Начальная скорость равна нулю. Найдите скорость у основания. Принять \(g=10\,\text{м/с}^2\).

1
В начальной точке брусок покоится, поэтому кинетическая энергия равна нулю; потенциальная энергия равна \(mgh\). У основания высоту принимаем равной нулю.
\(\displaystyle E_1=mgh,\qquad E_2=\frac{mv^2}{2}\)
2
Сила трения совершает отрицательную работу. На наклонной плоскости \(N=mg\cos\alpha\), поэтому \(A_{\text{тр}}=-\mu mg\cos\alpha\,s\). Из геометрии \(\sin\alpha=h/s\), значит \(\cos\alpha=\sqrt{1-h^2/s^2}\).
\(\displaystyle A_{\text{тр}}=-\mu mg s\sqrt{1-\frac{h^2}{s^2}}\)
3
Подставляем данные: \(\cos\alpha=\sqrt{1-1{,}8^2/3^2}=0{,}8\). Работа трения равна \(-0{,}20\cdot2\cdot10\cdot0{,}8\cdot3=-9{,}6\,\text{Дж}\).
\(\displaystyle A_{\text{тр}}=-9{,}6\,\text{Дж}\)
4
Используем общий энергетический баланс и сокращаем массу после подстановки.
\(\displaystyle mgh+A_{\text{тр}}=\frac{mv^2}{2}\)
5
Находим скорость.
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2(mgh+A_{\text{тр}})}{m}}=\sqrt{\frac{2(2\cdot10\cdot1{,}8-9{,}6)}{2}}=\sqrt{26{,}4}\approx5{,}1\,\text{м/с}\)
i
Что произошло с энергией

Без трения скорость была бы \(\sqrt{2gh}=6\,\text{м/с}\). Трение забрало \(9{,}6\,\text{Дж}\) механической энергии, поэтому конечная скорость меньше.

Связь с другими законами сохранения

Закон сохранения энергии применим почти всегда, но иногда одной энергии недостаточно. При столкновении тел, особенно при неупругом соударении, механическая энергия не сохраняется: часть переходит во внутреннюю энергию. Тогда до или после столкновения используют закон сохранения механической энергии на отдельных участках, а для самого удара — закон сохранения импульса. Бет о расчёте скорости после неупругого соударения помогает разделить эти этапы.

\[\vec p_{\text{сист},1}=\vec p_{\text{сист},2},\qquad \vec p=m\vec v\]

Энергия сохраняется в полной изолированной системе, но механическая энергия может переходить во внутреннюю. Поэтому фраза «энергия потерялась» означает только уменьшение выбранной механической энергии, а не исчезновение энергии вообще.

Частые ошибки

!
Проверьте себя

1. Не приравнивайте механические энергии при наличии трения, если его работа не учтена. 2. Не берите \(A_{\text{тр}}=+\mu Ns\): при движении сила трения направлена противоположно перемещению. 3. На наклонной плоскости нормальная реакция обычно равна \(mg\cos\alpha\), а не \(mg\). 4. Не складывайте потенциальные энергии тяжести и пружины, если соответствующего взаимодействия нет. 5. Не смешивайте закон сохранения импульса и энергии: импульс — векторная величина, энергия — скалярная.

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · формулы
Как записывается механическая энергия тела в поле тяжести?
Главное за минуту

Главное

  • Механическая энергия равна сумме \(E_k\) и \(E_p\).
  • Без работы неконсервативных сил: \(E_1=E_2\).
  • При трении используйте \(E_1+A_{\text{нк}}=E_2\); работа трения обычно отрицательна.
  • Шешім начинайте с выбора состояний, системы и нулевого деңгейі потенциальной энергии.
  • При столкновениях разделяйте этапы: энергию применяйте там, где она сохраняется, а для замкнутой системы при ударе — закон сохранения импульса.