Теорема о кинетической энергии
Теорема о кинетической энергии связывает два способа описания движения: действие сил через работу и изменение движения через скорость. Она позволяет находить скорость тела, не решая подробно уравнение движения во времени.
Основные понятия
Кинетическая энергия тела — энергия его механического движения. Для материальной точки массой \(m\), движущейся со скоростью \(v\), она определяется только массой и модулем скорости. Кинетическая энергия не зависит от направления движения и всегда неотрицательна.
Работа силы характеризует передачу энергии при перемещении тела. Если постоянная сила \(\vec F\) образует с перемещением \(\vec s\) угол \(\alpha\), её работа равна \(A=Fs\cos\alpha\). При действии нескольких сил складываются работы всех сил; их сумма равна работе равнодействующей.
Равнодействующая — сила, действие которой на тело эквивалентно совместному действию всех приложенных сил: \(\vec F_{\text{равн}}=\sum_i\vec F_i\). В теореме используется работа именно равнодействующей, или, что то же самое, алгебраическая сумма работ всех сил.
Формулировка теоремы
Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела между начальным и конечным состояниями.
Здесь \(v_1\) — начальная скорость, а \(v_2\) — конечная скорость. Если равнодействующая совершает положительную работу, кинетическая энергия и модуль скорости увеличиваются. Если работа отрицательна, тело замедляется. При нулевой работе кинетическая энергия сохраняется, поэтому модуль скорости не меняется.
Эта теорема является частным содержанием более общей теоремы об изменении кинетической энергии. Она особенно удобна, когда в условии указаны перемещение, силы и массы, но не требуется находить время движения.
Как применять теорему
- Выберите начальное и конечное состояния тела. Запишите известные значения \(v_1\), \(v_2\), \(m\) и перемещения.
- Найдите работу каждой силы. Учитывайте направление силы относительно перемещения: \(A=Fs\cos\alpha\).
- Сложите работы: \(A_{\text{равн}}=A_1+A_2+\ldots\). Силы, перпендикулярные перемещению, работы не совершают.
- Приравняйте полученную сумму изменению кинетической энергии.
- Выразите неизвестную величину и проверьте знак, единицы измерения и физический смысл результата.
Для горизонтального движения по шероховатой поверхности работу силы трения обычно записывают как \(A_{\text{тр}}=-F_{\text{тр}}s\), потому что трение направлено против перемещения. Работа силы тяги при движении под углом \(\alpha\) равна \(A_{\text{тяги}}=Fs\cos\alpha\). Если тело движется вертикально, работу силы тяжести удобно находить через работу силы тяжести: при подъёме на высоту \(h\) она равна \(-mgh\), а при опускании — \(+mgh\).
Тело движется по горизонтали, а сила реакции опоры направлена вертикально. Какова работа реакции опоры?
Вывод теоремы и разобранный пример
Рассмотрим тело, на которое действует постоянная равнодействующая вдоль перемещения. Из второго закона Ньютона \(F_{\text{равн}}=ma\), а из связи между ускорением, скоростью и перемещением \(v_2^2-v_1^2=2as\).
Брусок массой \(m=2\ \text{кг\) движется по горизонтальной поверхности. На пути \(s=5\ \text{м}\) на него действует сила тяги \(F=10\ \text{Н}\) вдоль движения и сила трения \(F_{\text{тр}}=2\ \text{Н}\) против движения. Начальная скорость \(v_1=3\ \text{м/с}\). Найдём конечную скорость.
Ответ: \(v_2=7\ \text{м/с}\). Заметим, что сила реакции опоры и сила тяжести работы не совершали: перемещение горизонтальное, а эти силы вертикальны. Поэтому в расчёт вошли только тяга и трение.
Связь с другими энергетическими формулами
Теорема применяется как часть метода работы и энергии при движении. Если действуют консервативные силы, например сила тяжести или упругости, их работу можно выразить через изменение потенциальной энергии. Тогда используют закон сохранения механической энергии. Для силы упругости полезно вспомнить работу силы упругости, а при подъёме или спуске — потенциальную энергию в поле тяжести.
Теорема не утверждает, что сохраняется кинетическая энергия. Она показывает, как кинетическая энергия изменяется под действием работы. Например, при торможении сила трения совершает отрицательную работу, и механическая энергия переходит во внутреннюю энергию нагрева.
1. Подставляют в формулу работу одной силы вместо работы равнодействующей. 2. Забывают знак работы трения или работы силы тяжести при подъёме. 3. Используют скорость без возведения в квадрат. 4. Считают нулевой работу силы, перпендикулярной перемещению, но не проверяют, действительно ли угол равен \(90^\circ\). 5. Путают изменение кинетической энергии \(\Delta E_k\) с конечной энергией \(E_{k2}\): это разные величины.
Если в задаче нужно найти скорость после нескольких участков движения, для каждого участка можно записать теорему отдельно, а затем использовать конечную скорость предыдущего участка как начальную для следующего. Это часто проще, чем находить ускорение и время.
Проверь себя
Главное
- Кинетическая энергия тела равна \(E_k=\frac{mv^2}{2}\).
- Работа равнодействующей равна сумме работ всех сил.
- Основная формула: \(A_{\text{равн}}=\Delta E_k=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}\).
- Положительная работа увеличивает скорость, отрицательная уменьшает её, нулевая сохраняет модуль скорости.
- При решении задач сначала определяют все силы и знаки их работ, затем применяют теорему и проверяют единицы измерения.