Полная механическая энергия
Полная механическая энергия характеризует движение тела и его положение в поле сил. В замкнутой механической системе она равна сумме кинетической и потенциальной энергий и сохраняется, если действуют только консервативные силы.
Что такое полная механическая энергия
Кинетическая энергия связана с движением тела, а потенциальная энергия — с его положением относительно выбранного нулевого уровня или с деформацией. Полная механическая энергия тела или системы — это их сумма.
Полная механическая энергия \(E\) — сумма кинетической энергии \(E_k\) и потенциальной энергии \(E_p\): \(E=E_k+E_p\).
Для материальной точки массой \(m\), движущейся со скоростью \(v\) в поле тяжести Земли, обычно используют \(E_k=\frac{mv^2}{2}\) и \(E_p=mgh\). Здесь \(h\) отсчитывают от выбранного нулевого уровня, а \(g\) — ускорение свободного падения. Нулевой уровень можно выбрать произвольно: при правильной работе разность потенциальных энергий не изменится.
Закон сохранения механической энергии
При движении энергия может переходить из одного вида в другой. Например, при падении тела потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. Если потерь нет, сумма остаётся постоянной.
В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется: сумма кинетической и потенциальной энергий в начальном и конечном состояниях одинакова.
Для движения тела в поле тяжести это записывают так:
Это частный случай общего закона сохранения механической энергии. Более общий закон сохранения энергии учитывает также внутреннюю энергию, теплоту и другие виды энергии.
Консервативными называют силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, а не от формы траектории. В школьных задачах к ним относят силу тяжести и силу упругости.
Силы трения и сопротивления среды неконсервативны. Их работа обычно отрицательна: часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел и нагревание. Поэтому при наличии трения механическая энергия системы уменьшается, хотя полная энергия в широком смысле сохраняется.
Если неконсервативные силы совершают отрицательную работу, то \(A_{\text{неконс}}<0\) и \(E_2<E_1\). Если внешняя сила совершает работу над системой, её механическая энергия может увеличиваться.
Как применять закон в задачах
- Выберите начальное и конечное состояния: например, верхнюю и нижнюю точки движения.
- Укажите нулевой уровень потенциальной энергии и выразите высоты относительно него.
- Запишите кинетическую энергию для каждой точки: \(E_k=\frac{mv^2}{2}\).
- Запишите потенциальную энергию нужного вида: \(mgh\) для тяжести или \(\frac{kx^2}{2}\) для деформированной пружины.
- При отсутствии потерь приравняйте полные энергии. Затем выразите неизвестную величину и проверьте единицы и смысл результата.
Тело падает без сопротивления воздуха. Как изменяются его энергии?
Если начальная или конечная скорость равна нулю, соответствующий член \(\frac{mv^2}{2}\) сразу исчезает. Если конечная точка выбрана за нулевой уровень, её потенциальная энергия равна нулю.
Разобранный пример: скорость тела при падении
Тело бросили вертикально вверх со скоростью \(v_0=10\ \text{м/с}\). Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдём максимальную высоту подъёма над точкой броска, приняв \(g=10\ \text{м/с}^2\).
В начальной точке тело имеет кинетическую энергию, а потенциальную энергию удобно принять равной нулю. В верхней точке скорость равна нулю, поэтому вся начальная кинетическая энергия превращается в потенциальную.
Ответ: \(h=5\ \text{м}\). Масса тела не вошла в результат: при одинаковой начальной скорости и отсутствии сопротивления тела любой массы поднимутся на одну и ту же высоту.
Пружина и несколько видов энергии
Если в системе есть пружина, учитывают потенциальную энергию упругой деформации. Здесь \(k\) — жёсткость пружины, \(x\) — её удлинение или сжатие относительно недеформированного состояния.
Например, при выстреле груза пружиной энергия упругой деформации переходит в кинетическую энергию груза. Если груз одновременно поднимается, нужно учитывать и \(mgh\):
Для нескольких тел механическая энергия системы равна сумме энергий всех тел и энергии взаимодействия между ними. Подробнее состав системы и её энергию рассматривает страница «Механическая энергия системы». При столкновениях часть энергии может перейти во внутреннюю, поэтому для неупругого столкновения одной механической энергии обычно недостаточно.
1. Приравнивают энергии, хотя есть трение, сопротивление или внешняя сила. 2. Забывают, что потенциальная энергия зависит от выбранного нулевого уровня. 3. Подставляют скорость вместо её квадрата. 4. Используют высоту не относительно одного и того же уровня. 5. Считают, что при неупругом столкновении механическая энергия сохраняется: обычно сохраняется импульс, но механическая энергия уменьшается.
Связь с другими законами сохранения
В задачах, где происходят столкновения, взрывы или разрывы, закон сохранения энергии часто применяют вместе с законом сохранения импульса. Для анализа движения также полезны координаты тела и уравнение движения. В упругом соударении сохраняются и импульс, и механическая энергия; в неупругом соударении механическая энергия обычно не сохраняется.
Проверь себя
Главное
- Полная механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной: \(E=E_k+E_p\).
- В замкнутой системе без трения и сопротивления выполняется \(E_1=E_2\).
- В поле тяжести используют \(E=\frac{mv^2}{2}+mgh\), для пружины — \(E_{p,\,\text{упр}}=\frac{kx^2}{2}\).
- При наличии неконсервативных сил механическая энергия изменяется на работу этих сил.
- Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают удобно, но во всех состояниях используют один и тот же уровень.