Угол между векторами
Угол между векторами — это меньший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы его направление совпало с направлением другого. В механике он показывает, как силы направлены относительно друг друга и влияет на их сумму и проекции.
Формулы
При сложении двух сил \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\) угол между ними определяет модуль равнодействующей \(\vec R=\vec F_1+\vec F_2\). По правилу параллелограмма:
Если нужно найти проекцию вектора силы \(\vec F\) на выбранное направление, используют угол \(\alpha\) между силой и этим направлением:
Знак проекции зависит от направления оси: она положительна, если сила направлена в сторону положительной оси, и отрицательна — если в противоположную сторону. Такой приём используется при нахождении проекции силы на направление и записи второго закона Ньютона в векторной форме.
Две силы по \(3\ \text{Н}\) образуют угол \(60^\circ\). Тогда \(R=\sqrt{3^2+3^2+2\cdot3\cdot3\cos60^\circ}=\sqrt{27}=3\sqrt3\ \text{Н}\). Если сила \(10\ \text{Н}\) направлена под углом \(60^\circ\) к оси \(x\), её проекция на эту ось равна \(10\cos60^\circ=5\ \text{Н}\).
Угол между векторами не всегда совпадает с углом между сторонами рисунка, если один из векторов перенесён. Векторы можно параллельно переносить, сохраняя направление и длину; угол нужно измерять именно между их направлениями.
Чему равна проекция силы \(F\) на направление, если сила перпендикулярна этому направлению?
Главное
- Угол между векторами лежит от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) и сравнивает их направления.
- Для равнодействующей двух сил используется закон косинусов: \(R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\alpha}\).
- Проекция силы на направление равна \(F\cos\alpha\) и может быть положительной, нулевой или отрицательной.