ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 1, 2, 4 · ЕГЭ

Кинематический анализ движения

Алгоритм решения задач по графикам, формулам и кинематическим связям
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Кинематический анализ движения — это последовательное описание положения, скорости и ускорения тел, а также установление связи между их координатами. В задачах экзамена важно не просто подставить числа в формулу, а выбрать ось, правильно прочитать график и записать условие связи между движущимися телами.

1. Величины и модель движения

Сначала определите, какие тела участвуют в движении и какую модель можно применить. Если размерами тела можно пренебречь, его рассматривают как материальную точку. Выберите систему отсчёта: начало координат, положительное направление оси и момент \(t=0\). Координата \(x(t)\) показывает положение тела на оси, путь \(s\) — длину пройденной траектории, а перемещение — направленный отрезок от начального положения к конечному.

D
Основные понятия

Скорость характеризует быстроту и направление движения: \(\vec v=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\). Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость: \(\vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}\). При движении вдоль прямой вместо векторов часто используют проекции \(v_x\) и \(a_x\).

\(x, s\)
координата, путь
м
\(t\)
время
с
\(v\)
скорость
м/с
\(a\)
ускорение
м/с²

Для выбора формулы определите характер движения. При равномерном движении скорость постоянна и ускорение равно нулю. При равнопеременном движении ускорение постоянно, а скорость изменяется на одинаковую величину за равные промежутки времени. Формулы такого движения собраны на странице формул равнопеременного движения.

\[x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}\]1
\[v=v_0+at\]2
\[v^2-v_0^2=2a(x-x_0)\]3

2. Как читать графики движения

График координаты \(x(t)\) показывает положение тела в каждый момент. Наклон касательной к нему равен проекции скорости: чем круче график, тем больше модуль скорости. Горизонтальный участок означает покой, а смена знака наклона — изменение направления движения. Подробный алгоритм чтения приведён на странице графиков движения.

На графике скорости \(v(t)\) значение ординаты даёт скорость, наклон показывает ускорение, а площадь с учётом знака под графиком равна перемещению. Если требуется путь, складывают площади по модулю, не допуская взаимного уничтожения участков с разными знаками скорости.

123456123456t, сx, м0x(t)
Параболический график координаты при постоянном ускорении.
T
Связь графиков

Для графика \(x(t)\) скорость равна угловому коэффициенту: \(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\) на прямом участке. Для графика \(v(t)\) перемещение равно алгебраической площади под графиком: \(\Delta x=\int v(t)\,dt\), а при постоянной скорости — \(\Delta x=vt\).

Микро-проверка

Что означает горизонтальный участок на графике координаты \(x(t)\)?

3. Кинематические связи между телами

Кинематическая связь — условие, которое связывает координаты, скорости или ускорения нескольких тел из-за нити, стержня, контакта, колеса или другого ограничения. Силы для записи такой связи обычно не нужны: достаточно геометрии движения и условия нерастяжимости.

D
Кинематические связи

Если длина нерастяжимой нити постоянна, сумма её изменяющихся участков постоянна. После дифференцирования по времени получают связь скоростей, а после второго дифференцирования — связь ускорений. Знаки зависят от выбранных положительных направлений.

Общий алгоритм таков: 1) введите координаты всех тел; 2) запишите постоянную длину нити, расстояние или условие контакта; 3) выразите координаты через одну переменную; 4) продифференцируйте связь по времени; 5) решите полученную систему вместе с законами движения. При перекатывании без проскальзывания используется связь сложения движений или условие \(v=\omega R\).

\[L=x_1+x_2+\ldots+x_n=\mathrm{const}\]4
\[\frac{dx_1}{dt}+\frac{dx_2}{dt}+\ldots+\frac{dx_n}{dt}=0\]5

Знак «плюс» в геометрической связи не означает, что скорости всегда направлены одинаково. Он относится к выбранным координатам. Например, если одно тело движется вправо, а другое — влево, их проекции могут иметь противоположные знаки. Для анализа ускорений полезно отличать кинематическую связь от силового уравнения, записываемого через второй закон Ньютона в векторной форме.

4. Универсальный алгоритм решения

  1. Прочитайте условие и выпишите известные величины с единицами СИ.
  2. Сделайте схему: тела, ось, положительные направления скоростей и ускорений.
  3. Определите, что дано: график координаты, скорости, пути или формула движения.
  4. Запишите кинематические уравнения для каждого тела и отдельное уравнение связи.
  5. Согласуйте знаки, начальные условия и единицы измерения.
  6. Решите систему, затем проверьте размерность и физический смысл ответа.
Приём для графиков

Сначала считывайте с графика не весь рисунок, а конкретные точки и интервалы: начальную координату, конечную координату, время, наклон или площадь. Если линия состоит из участков, разбейте движение на интервалы и применяйте формулу к каждому отдельно.

5. Разобранный пример: два тела на нити

№
Условие

Два груза связаны нерастяжимой нитью, переброшенной через гладкий блок. За время \(t=2\ \text{с}\) первый груз опустился на \(4\ \text{м}\) из состояния покоя. Найдите его ускорение и скорость в конце движения, если движение равноускоренное.

Выбираем положительное направление вниз для первого груза. Второй груз при этом перемещается вверх. Так как нить нерастяжима, модули перемещений, скоростей и ускорений грузов одинаковы. Для нахождения неизвестных достаточно уравнений движения первого груза.

1
Начальная скорость равна нулю, поэтому используем формулу перемещения при постоянном ускорении.
\(\displaystyle s=v_0t+\frac{at^2}{2}=\frac{at^2}{2}\)
2
Подставляем \(s=4\ \text{м}\) и \(t=2\ \text{с}\).
\(\displaystyle 4=\frac{a\cdot 2^2}{2}=2a\)
3
Находим ускорение.
\(\displaystyle a=2\ \text{м/с}^2\)
4
Скорость в конце движения определяется формулой \(v=v_0+at\).
\(\displaystyle v=0+2\cdot2=4\ \text{м/с}\)

Ответ: ускорение первого груза равно \(2\ \text{м/с}^2\), конечная скорость — \(4\ \text{м/с}\). Второй груз имеет такое же значение модуля скорости и ускорения, но противоположное направление. Если в задаче появляются силы, к этой кинематической системе добавляют уравнения Ньютона.

6. Частые ошибки и проверка ответа

!
Частые ошибки

1. Путают путь и перемещение: путь неотрицателен, перемещение может быть отрицательным. 2. Считывают площадь под графиком \(x(t)\) вместо наклона. 3. Используют формулу для пути, когда требуется перемещение. 4. Забывают перевести километры в метры и часы в секунды. 5. При связи тел приравнивают скорости без учёта направлений. 6. Считают нить растяжимой или блок подвижным, хотя это не указано.

Проверка результата должна включать три шага: размерность, знак и предельный случай. Например, при \(a=0\) формула равнопеременного движения должна переходить в равномерное; при \(t=0\) координата должна быть равна \(x_0\), а скорость — \(v_0\). Условие встречи двух тел решается сравнением их координат \(x_1(t)=x_2(t)\); отдельный разбор есть на странице точки встречи.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · графики
Что равно наклону графика \(x(t)\)?
Главное за минуту

Главное

  • Начинайте решение с модели, оси, начальных условий и единиц СИ.
  • На графике \(x(t)\) наклон даёт скорость, на графике \(v(t)\) площадь даёт перемещение.
  • Кинематическая связь выражает геометрическое ограничение между координатами, скоростями или ускорениями тел.
  • Для нерастяжимой нити сначала записывают постоянство длины, затем дифференцируют связь.
  • После решения проверьте размерность, знак, начальный момент и соответствие ответа условию.