ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 1, 2 · ЕГЭ

Формулы равнопеременного движения

Координата, скорость и путь тела при постоянном ускорении
5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Равнопеременное движение — это движение с постоянным ускорением. На этой странице собраны основные уравнения для координаты, скорости и пройденного пути; они являются математическим ядром темы равнопеременного движения.

Основные понятия и обозначения

Сначала выбирают систему отсчёта: начало координат, положительное направление оси и момент времени \(t=0\). Положение тела задаётся координатой \(x\), скорость \(v\) показывает быстроту и направление движения, а ускорение \(a\) характеризует изменение скорости. Если система отсчёта движется с ускорением, необходимо учитывать материал страницы об ускоренной системе отсчёта.

D
Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — движение, при котором вектор ускорения не изменяется со временем: \(\vec a=\mathrm{const}\). В одномерной задаче это означает постоянное алгебраическое ускорение \(a\).

\(x, x_0\)
координата и начальная координата
м
\(v, v_0\)
скорость и начальная скорость
м/с
\(a\)
ускорение
м/с²
\(t\)
время
с
\(s\)
путь
м
T
Знак величины

Знаки \(v\) и \(a\) определяются выбранным положительным направлением оси. Если \(v\) и \(a\) имеют одинаковые знаки, модуль скорости увеличивается — движение ускоренное. Если знаки различны, тело замедляется — это частный случай равнозамедленного движения.

Скорость и координата

При постоянном ускорении скорость изменяется линейно со временем. Начальная скорость \(v_0\) — это скорость в момент \(t=0\), а начальная координата \(x_0\) — координата в тот же момент.

\[v=v_0+at\]1

Координата тела находится по формуле, в которой учтены начальная скорость и смещение из-за ускорения:

\[x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}\]2
T
Следствие для перемещения

Перемещение \(\Delta x=x-x_0\) равно \(\Delta x=v_0t+\frac{at^2}{2}\). Если тело движется вдоль положительного направления без смены направления, перемещение совпадает с пройденным путём: \(s=\Delta x\).

123456510152025303540t, сx, м0x(t)
Координата при постоянном ускорении: график \(x(t)\) имеет вид параболы.

Путь и формулы без времени

Путь — длина траектории, поэтому он не может быть отрицательным. Нельзя автоматически заменять путь перемещением: при остановке и развороте тело может пройти значительный путь, хотя итоговое перемещение будет малым.

\[s=v_0t+\frac{at^2}{2}\]3

Если известны начальная и конечная скорости, а время неизвестно, используют формулу, полученную исключением времени:

\[v^2=v_0^2+2as\]4

Средняя скорость при равнопеременном движении выражается через начальную и конечную скорости:

\[v_{\text{ср}}=\frac{v_0+v}{2}\]5

Тогда путь можно вычислить и так:

\[s=\frac{v_0+v}{2}\,t\]6
Как выбрать формулу

Есть \(t\) и \(a\) — применяйте \(v=v_0+at\) или \(s=v_0t+at^2/2\). Нет времени, но известны \(v_0\), \(v\), \(a\) и \(s\) — используйте \(v^2-v_0^2=2as\). Для участка с известными двумя скоростями и временем удобно \(s=(v_0+v)t/2\).

Микро-проверка

Тело начинает движение из состояния покоя с ускорением \(2\,\text{м/с}^2\). Какой будет его скорость через \(3\,\text{с}\)?

Откуда берутся основные формулы

Ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени. При постоянном ускорении это определение сразу даёт закон изменения скорости. Координата получается суммированием перемещения: за время \(t\) тело имело начальную скорость всё время и дополнительно набрало скорость из-за ускорения.

1
Записываем определение постоянного ускорения.
\(\displaystyle a=\frac{v-v_0}{t}\)
2
Умножаем на время и выражаем конечную скорость.
\(\displaystyle v-v_0=at\quad\Rightarrow\quad v=v_0+at\)
3
Средняя скорость при линейном изменении скорости равна полусумме начальной и конечной скоростей.
\(\displaystyle v_{\text{ср}}=\frac{v_0+v}{2}\)
4
Подставляем закон скорости в выражение для перемещения.
\(\displaystyle s=v_{\text{ср}}t=\frac{v_0+(v_0+at)}{2}t=v_0t+\frac{at^2}{2}\)
5
Исключаем время из формул \(v-v_0=at\) и \(s=(v_0+v)t/2\).
\(\displaystyle s=\frac{v_0+v}{2}\cdot\frac{v-v_0}{a}=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\quad\Rightarrow\quad v^2=v_0^2+2as\)

Разобранный пример

№
Торможение автомобиля

Автомобиль движется со скоростью \(20\,\text{м/с}\) и начинает равнозамедленно тормозить с ускорением \(-4\,\text{м/с}^2\). Найдём время до остановки и тормозной путь.

Показать решение Решение

Выбираем направление движения автомобиля положительным. Тогда \(v_0=20\,\text{м/с}\), \(a=-4\,\text{м/с}^2\), а в момент остановки \(v=0\).

1
Находим время остановки из закона скорости.
\(\displaystyle 0=20-4t\quad\Rightarrow\quad t=5\,\text{с}\)
2
Вычисляем тормозной путь по формуле без времени.
\(\displaystyle v^2=v_0^2+2as\)
3
Подставляем данные и выражаем \(s\).
\(\displaystyle 0=20^2+2\cdot(-4)s\quad\Rightarrow\quad 8s=400\quad\Rightarrow\quad s=50\,\text{м}\)

Ответ: автомобиль остановится через \(5\,\text{с}\), пройдя \(50\,\text{м}\). Отрицательное ускорение не означает отрицательный путь: оно показывает, что скорость уменьшается в выбранном направлении.

Графики движения

На графике \(v(t)\) равнопеременное движение изображается прямой: её наклон равен ускорению. Площадь под графиком скорости за промежуток времени равна перемещению. График \(x(t)\) — парабола; её выпуклость определяется знаком ускорения.

0.511.522.533.540.511.522.533.54t, сv, м/с0v(t)
При отрицательном ускорении скорость линейно уменьшается и достигает нуля.

Для анализа сложного движения полезно разбивать его на участки с постоянным ускорением. На границе участков координата и скорость обычно непрерывны: конечные значения первого участка становятся начальными для второго. В задачах на встречу дополнительно понадобится точка встречи, а для движения по нескольким участкам — средняя скорость на всём пути.

!
Частые ошибки

1. Путают путь и перемещение. 2. Подставляют модуль ускорения вместо алгебраического значения. 3. Используют \(s=vt\) при изменяющейся скорости. 4. Забывают перевести километры в метры и часы в секунды. 5. В формуле \(v^2=v_0^2+2as\) теряют знак \(a\). 6. Считают, что отрицательная координата или скорость невозможны: отрицательными бывают именно координата и проекция скорости, если так выбрана ось.

Алгоритм решения задач

  1. Выберите ось и положительное направление.
  2. Запишите известные величины с единицами СИ: \(x_0\), \(v_0\), \(a\), \(t\), \(x\), \(v\), \(s\).
  3. Определите, нужен путь или перемещение; проверьте, не было ли разворота.
  4. Выберите уравнение, содержащее искомую величину и известные данные.
  5. Подставьте числа только после записи буквенной формулы.
  6. Проверьте знак, единицы измерения и физический смысл ответа.
Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · скорость
Как изменяется скорость при постоянном ускорении?
Главное за минуту

Главное

  • При постоянном ускорении \(v=v_0+at\), а \(x=x_0+v_0t+at^2/2\).
  • Перемещение: \(s=v_0t+at^2/2\); без времени: \(v^2=v_0^2+2as\).
  • Средняя скорость на участке равна \((v_0+v)/2\), если ускорение постоянно.
  • Знаки скорости и ускорения задаются выбранной осью; путь не бывает отрицательным.
  • Перед вычислениями определите систему отсчёта, единицы СИ и различие между путём и перемещением.