Графики движения
График движения показывает, как физическая величина изменяется со временем. На экзамене важно не только определить значение координаты, скорости или ускорения в момент времени, но и понять смысл наклона графика, площади под ним и точек пересечения.
1. Величины и правила чтения графика
В кинематике обычно рассматривают зависимость координаты \(x\), скорости \(v\) или ускорения \(a\) от времени \(t\). Вдоль горизонтальной оси откладывают время, а по вертикальной — выбранную величину. Сначала проверьте масштаб и единицы измерения обеих осей, затем найдите нужное значение времени и проведите мысленно вертикаль до графика.
Координата \(x\) — положение тела на выбранной оси. Перемещение за промежуток времени — изменение координаты: \(\Delta x=x_2-x_1\). Перемещение может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Скорость характеризует быстроту и направление движения: \(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\). Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\).
Если график состоит из отрезков, движение анализируют отдельно на каждом участке. В точке излома величина может изменить характер изменения, например скорость — стать постоянной или изменить направление.
2. График координаты \(x(t)\)
На графике координаты от времени значение ординаты в момент \(t\) даёт координату тела. Начальная координата определяется точкой графика при \(t=0\). Перемещение между моментами \(t_1\) и \(t_2\) равно разности координат, а не длине линии на рисунке.
Средняя скорость на участке равна угловому коэффициенту графика \(x(t)\): \(v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\). Чем круче график, тем больше модуль скорости. Наклон вверх означает \(v>0\), наклон вниз — \(v<0\), горизонтальный участок — покой.
Если график \(x(t)\) — прямая, скорость постоянна. Если он искривлён, скорость меняется: её значение в конкретный момент соответствует наклону касательной. Пересечение графика с осью времени означает прохождение начала координат, то есть \(x=0\).
Разбейте движение на участки, определите изменения координаты \(\Delta x\) на каждом из них и сложите их модули: \(s=|\Delta x_1|+|\Delta x_2|+\dots\). Простое \(|x_2-x_1|\) даёт путь только при движении без смены направления. Для площади под графиком скорости см. нахождение пути по графику скорости.
3. График скорости \(v(t)\)
На графике скорости ордината показывает скорость в данный момент. Знак скорости задаёт направление движения относительно выбранной положительной оси. Нулевая скорость означает остановку, но не обязательно прекращение движения навсегда.
Алгебраическая площадь между графиком \(v(t)\) и осью времени равна перемещению. Участки выше оси дают положительный вклад, ниже оси — отрицательный. Чтобы найти путь, складывают площади по модулю: \(s=S_++S_-\), где \(S_-\) берут как положительное число.
При равномерном движении график \(v(t)\) горизонтален. При равноускоренном движении он является наклонной прямой: наклон графика показывает ускорение. Пересечение графика с осью времени соответствует остановке или смене направления.
Что означает горизонтальный участок на графике \(x(t)\)?
4. График ускорения \(a(t)\)
На графике ускорения ордината показывает изменение скорости в единицу времени. Если \(a>0\), скорость увеличивается алгебраически; если \(a<0\), она уменьшается алгебраически. Это не всегда означает замедление: например, при \(v<0\) и \(a<0\) модуль скорости увеличивается.
Алгебраическая площадь под графиком \(a(t)\) равна изменению скорости \(\Delta v\). Если ускорение постоянно, то \(v=v_0+at\), а координата определяется формулой \(x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}\).
Связь графиков такова: наклон графика \(x(t)\) даёт скорость, наклон графика \(v(t)\) даёт ускорение, площадь под графиком \(v(t)\) даёт перемещение. Поэтому графики нужно читать как единую цепочку, а не как независимые рисунки. Подробнее о совместном анализе см. график ускорения и скорости.
\(x(t)\) читают по высоте графика; \(v(t)\) — по наклону графика \(x(t)\) или по высоте собственного графика; \(a(t)\) — по наклону графика \(v(t)\) или по высоте собственного графика.
5. Разобранный пример
Тело движется по графику скорости: от \(0\) до \(4\) с скорость линейно возрастает от \(0\) до \(6\) м/с, затем от \(4\) до \(7\) с постоянна и равна \(6\) м/с. Найдём перемещение и путь за всё время.
Нужно вычислить перемещение \(\Delta x\) и путь \(s\). На первом участке площадь под графиком — треугольник, на втором — прямоугольник.
Если бы на втором участке график проходил ниже оси времени, его площадь вошла бы в перемещение со знаком минус, а в путь — по модулю. Именно различие этих двух правил часто проверяют в заданиях.
6. Алгоритм решения и ошибки
- Определите, какая величина отложена по вертикальной оси, и прочитайте единицы.
- Разбейте график на простые участки: прямые, горизонтальные отрезки, треугольники и прямоугольники.
- Для \(x(t)\) используйте значения координаты и наклон; для \(v(t)\) — высоту и площади; для \(a(t)\) — высоту и площадь изменения скорости.
- Проверьте знак результата и физический смысл: скорость может быть отрицательной, путь — нет.
Не путайте путь и перемещение: путь не бывает отрицательным. Не принимайте высоту графика \(x(t)\) за скорость — скорость задаётся его наклоном. Не забывайте переводить минуты в секунды и километры в метры. Площадь под графиком скорости считают с учётом знака для перемещения, а для пути — по модулю.
Для графика пути от времени действуют другие признаки: путь не убывает, а наклон показывает модуль скорости. Это разобрано на странице график пути от времени. При сложных участках полезен кинематический анализ движения, а базовые формулы лучше повторить в теме равнопеременное движение.
Быстрая проверка
Главное
- Значение величины читают по высоте графика, а скорость по графику \(x(t)\) и ускорение по графику \(v(t)\) — по наклону.
- Перемещение равно изменению координаты и алгебраической площади под графиком скорости.
- Площадь под графиком ускорения даёт изменение скорости.
- Путь складывают из модулей пройденных участков; он не может быть отрицательным.
- Перед решением всегда проверяйте оси, масштаб, единицы и знаки величин.