Задания № 15, 16 · ОГЭ

Система связанных тел

Алгоритм построения уравнений движения для тел, соединённых нитями и блоками

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Система связанных тел — это несколько тел, движение которых ограничено общей нитью, блоком или другой связью. Главная задача при решении: установить кинематическую связь между перемещениями и ускорениями тел, выбрать направления осей и записать для каждого тела второй закон Ньютона.

Что называют системой связанных тел

Связанными называют тела, перемещения которых не могут быть независимыми. Например, если два груза соединены нерастяжимой нитью, то при опускании одного груза другой поднимается. Нить передаёт взаимодействие между телами, а блок может изменять направление силы натяжения.

Основные понятия

Система связанных тел — тела, соединённые связями так, что их движения подчиняются общему условию. Связь — ограничение, задающее допустимые перемещения тел. Для идеальной нерастяжимой нити длина её натянутой части постоянна. Для невесомой нити и невесомого блока сила натяжения обычно одинакова на всех участках одной нити.

\(m\)

масса

кг

\(a\)

ускорение

м/с²

\(T\)

сила натяжения

\(F\)

внешняя сила

\(N\)

реакция опоры

\(\mu\)

коэффициент трения

без единицы

Перед решением полезно повторить законы Ньютона, а также свойства невесомых связей. Если в условии сказано, что нить невесома и нерастяжима, а блок невесом и трение в его оси отсутствует, можно применять идеальную модель.

Кинематическая связь

Кинематическая связь получается из постоянства длины нити. Сначала записывают длину нити через координаты тел, затем дифференцируют это равенство по времени. Так находят связь между скоростями, а повторное дифференцирование даёт связь между ускорениями.

Правило для нерастяжимой нити

Если длина нити постоянна, то сумма длин её участков не изменяется. Поэтому для двух тел, соединённых простой нитью, модули перемещений, скоростей и ускорений часто равны: \(s_1=s_2\), \(v_1=v_2\), \(a_1=a_2\). Направления движений при этом могут быть противоположными.

\[L=s_1+s_2=\mathrm{const} \quad \Rightarrow \quad a_1+a_2=0\]

Знак в последнем равенстве зависит от выбора положительных направлений. Если координаты направлены в одну и ту же сторону вдоль вертикали, ускорения могут иметь противоположные знаки. В сложных системах с подвижными блоками один конец нити может перемещаться в несколько раз быстрее груза.

Проверь себя

Груз 1 опускается на \(0{,}20\) м за некоторый промежуток времени, а нить нерастяжима. На сколько переместится груз 2, если используется один неподвижный блок?

Алгоритм составления уравнений

Уравнения записывают отдельно для каждого тела. Не следует составлять одно уравнение сразу для всей системы, если требуется найти силу натяжения: внутренние силы взаимно уничтожаются только при сложении уравнений всей системы.

Сделайте схему и укажите все тела, нити, блоки и опоры.
Выберите положительное направление движения для каждого тела. Удобнее направить ось по предполагаемому движению.
Изобразите силы: тяжесть \(mg\), натяжение \(T\), реакцию опоры \(N\), трение и внешние силы.
Для каждого тела запишите второй закон Ньютона в проекциях на выбранные оси: сумма проекций сил равна \(ma\).
Добавьте уравнения связи: равенство ускорений или другое соотношение, полученное из постоянства длины нити.
Решите систему уравнений и проверьте знаки, единицы измерения и физический смысл ответа.

Два груза соединены нерастяжимой нитью через неподвижный блок: ускорения направлены в противоположные стороны.

Разобранный пример: два груза через блок

Грузы массами \(m_1=3\) кг и \(m_2=2\) кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый неподвижный блок. Трением пренебречь. Найдём ускорение системы и силу натяжения нити. Пусть \(m_1>m_2\), поэтому первый груз движется вниз, а второй — вверх.

№

Модель решения

На груз \(m_1\) действуют сила тяжести вниз и натяжение вверх. На груз \(m_2\) действуют натяжение вверх и сила тяжести вниз. Ускорения грузов равны по модулю: \(a_1=a_2=a\).

Выберем для каждого груза положительное направление по движению и применим второй закон Ньютона.

\(\displaystyle m_1g-T=m_1a\)

Для второго груза положительное направление направлено вверх, поэтому сила натяжения положительна, а вес — отрицателен.

\(\displaystyle T-m_2g=m_2a\)

Сложим уравнения: сила натяжения — внутренняя сила системы и сократится.

\(\displaystyle (m_1-m_2)g=(m_1+m_2)a\)

Выразим ускорение и подставим числа при \(g=10\ \text{м/с}^2\).

\(\displaystyle a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}=\frac{(3-2)\cdot10}{3+2}=2\ \text{м/с}^2\)

Подставим найденное ускорение в первое уравнение и найдём натяжение.

\(\displaystyle T=m_1(g-a)=3(10-2)=24\ \text{Н}\)

Ответ: груз массой \(3\) кг движется вниз с ускорением \(2\ \text{м/с}^2\), груз массой \(2\) кг — вверх с таким же по модулю ускорением; сила натяжения равна \(24\) Н. Заметьте, что \(T<m_1g\) и \(T>m_2g\): это соответствует ускоренному движению.

Наклонная плоскость и трение

Если одно из тел лежит на наклонной плоскости, вес удобно разложить на составляющие: вдоль плоскости \(mg\sin\alpha\), перпендикулярно плоскости \(mg\cos\alpha\). При отсутствии ускорения перпендикулярно плоскости \(N=mg\cos\alpha\). Сила трения скольжения равна \(F_{\text{тр}}=\mu N\) и направлена против относительного движения.

Для задач с трением полезно открыть страницы о трении на наклонной плоскости и о силе трения при равномерном движении. Силу натяжения обозначают одной буквой \(T\), если нить идеальна; подробнее см. силу натяжения нити.

Частые ошибки

1. Приписывают одинаковое направление ускорениям грузов через неподвижный блок, хотя они движутся навстречу друг другу. 2. Забывают силу натяжения или рисуют её в неправильную сторону. 3. Используют \(T=mg\) при ускоренном движении: это верно только для равновесия или равномерного движения. 4. Для подвижного блока автоматически принимают \(a_1=a_2\) — сначала нужно вывести связь из длины нити. 5. Складывают силы, действующие на разные тела, не записав отдельные уравнения.

Как проверить ответ

Если система движется ускоренно, натяжение не обязано быть равно весу. Ускорение должно быть направлено в сторону результирующей силы. При \(m_1=m_2\) в симметричной системе без внешней силы должно получиться \(a=0\), а при равновесии \(T=m g\).

Связь с системой тел и блоками

Внутри страницы системы тел рассматривают общий подход к нескольким взаимодействующим объектам. Здесь основное внимание уделяется связи координат. Для подвижного блока груз поддерживается двумя ветвями одной нити, поэтому при перемещении свободного конца на \(s\) груз обычно перемещается на \(s/2\), а его ускорение по модулю вдвое меньше. Условия применимости зависят от схемы крепления нити.

Сила, действующая на подвижный блок со стороны двух ветвей, равна в идеальном случае \(2T\). Если блок имеет массу, вращается с учётом момента инерции или ось испытывает трение, натяжения по разные стороны могут различаться. Такие случаи требуют более сложной модели, чем невесомый блок.

\[a_{\text{свободного конца}}=2a_{\text{груза}} \quad \text{(для типичной схемы с подвижным блоком)}\]

Важно о предположениях

Перед использованием формул проверьте, что нить нерастяжима, нить и блок невесомы, а трение в оси блока отсутствует. Если эти условия нарушены, равенство натяжений или ускорений может оказаться неверным. Вопросы равновесия выделены на странице равновесия системы тел, а общий случай движения — на странице движения системы связанных тел.

Быстрая проверка

Быстрый тест по теме

Проверьте понимание

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · второй закон Ньютона

Что записывают отдельно для каждого тела?

Главное за минуту

Главное

Связанные тела движутся не независимо: их координаты подчиняются условию связи.
Для нерастяжимой нити длина постоянна; из этого находят связь скоростей и ускорений.
На каждое тело отдельно действуют силы, и для него записывают второй закон Ньютона в проекциях.
В идеальной нити натяжение одинаково, но при ускорении обычно не равно весу тела.
Алгоритм: схема — силы — оси — уравнения Ньютона — кинематическая связь — решение и проверка.