Сила натяжения в системе тел
Сила натяжения возникает в натянутой нити, связывающей тела. Чтобы найти её и ускорение системы, нужно рассмотреть силы, действующие на каждое тело, выбрать оси, записать второй закон Ньютона и решить полученную систему уравнений.
Что такое сила натяжения
Сила натяжения \(T\) — это сила, с которой натянутая нить действует на тело. Она направлена вдоль нити от тела. На идеально гибкую невесомую нить действует одинаковая по модулю сила натяжения во всех её участках, если между участками нет блока с трением или другой внешней силы.
В задачах обычно рассматривают нить как невесомую и нерастяжимую. Невесомость позволяет считать натяжение одинаковым по всей нити, а нерастяжимость означает, что связанные тела имеют одинаковые по модулю перемещения и ускорения.
Сила натяжения не является отдельной разновидностью фундаментального взаимодействия: это результат упругого взаимодействия участков нити с телами. В отличие от силы тяжести, натяжение нельзя заранее вычислить только по массе тела. Его находят из уравнений движения.
Алгоритм решения задач
Сначала полезно изучить законы Ньютона, а затем применять их к каждому телу отдельно. Система связанных тел может двигаться горизонтально, вертикально или по наклонным плоскостям.
- Изобразите каждое тело отдельно и нанесите все силы: тяжести, реакции опоры, трения и натяжения нити.
- Выберите положительное направление оси для каждого тела. Обычно ось направляют в сторону предполагаемого движения.
- Запишите для каждого тела второй закон Ньютона: сумма проекций сил равна \(ma\).
- Учтите связь: для нерастяжимой нити ускорения связанных тел равны по модулю.
- Решите систему уравнений и проверьте знак результата.
В инерциальной системе отсчёта равнодействующая всех сил равна произведению массы тела на его ускорение: \(\sum \vec F=m\vec a\). В проекциях на выбранную ось: \(\sum F_x=ma_x\).
Основные случаи и формулы
Рассмотрим гладкую горизонтальную поверхность. Тело массой \(m_1\) связано через невесомый блок с грузом \(m_2\), который движется вертикально вниз. Трение отсутствует. Для первого тела вправо действуют натяжение \(T\), для второго тела вниз действует сила тяжести \(m_2g\), а вверх — натяжение.
Сложив уравнения, исключаем натяжение и получаем ускорение всей системы:
После этого натяжение можно найти подстановкой:
Если на горизонтальной поверхности есть сила трения скольжения \(F_{\text{тр}}=\mu m_1g\), уравнение для первого тела меняется: \(T-F_{\text{тр}}=m_1a\). Тогда:
Для двух грузов, подвешенных по разные стороны блока, при условии \(m_2>m_1\) более тяжёлый груз движется вниз. Уравнения имеют вид \(m_2g-T=m_2a\) и \(T-m_1g=m_1a\). Поэтому:
Груз массой \(m_2\) висит и движется вниз. Как направлена сила натяжения, действующая на этот груз?
Разобранный пример
Брусок массой \(m_1=3\) кг лежит на гладком столе и соединён через невесомый блок с грузом \(m_2=2\) кг. Найдём ускорение системы и силу натяжения. Примем \(g=10\) м/с².
Ответ: ускорение системы равно \(4\) м/с²; сила натяжения нити равна \(12\) Н. Проверка по второму уравнению: \(m_2g-T=20-12=8\) Н, а \(m_2a=2\cdot4=8\) Н.
Если подвешенный груз движется вниз, его сила тяжести должна быть больше натяжения: \(m_2g>T\). В примере \(20\) Н \(>12\) Н, значит направление движения выбрано согласованно.
Если нить или блок неидеальны
Если нить имеет заметную массу, натяжение в разных участках обычно различается. Если блок обладает массой и вращательной инерцией, силы натяжения по обе стороны блока также могут быть неодинаковыми. Такие задачи требуют уравнений вращательного движения и выходят за рамки простейшей модели.
При наличии нескольких нитей каждую связь нужно анализировать отдельно. Нельзя автоматически приравнивать ускорения тел, если нити имеют разные точки крепления или проходят через подвижные блоки. В таких случаях условие связи получают из постоянства длины нити; это связано с темой невесомых связей.
1. Направляют натяжение не вдоль нити. 2. Ставят силу натяжения равной \(mg\) без анализа движения. Это верно только в некоторых случаях равновесия. 3. Записывают одно уравнение на всю систему и пытаются сразу найти \(T\): для внутренней силы натяжения она сокращается. 4. Забывают, что сила трения меняет уравнение для тела на опоре. 5. Используют одинаковое направление осей без учёта того, что тела движутся в противоположные стороны.
Если система движется с постоянной скоростью, ускорение равно нулю, но натяжение может быть ненулевым. Если система покоится, это частный случай равновесия. Для дальнейшего анализа перемещения и времени используйте страницу о равноускоренном движении, а для сложных составных систем — о движении системы связанных тел.
Быстрая проверка
Проверьте понимание
Главное
- Сила натяжения направлена вдоль нити от тела и определяется из второго закона Ньютона.
- Для идеальной нерастяжимой нити связанные тела имеют одинаковые по модулю ускорения.
- Сначала записывайте уравнения для каждого тела, затем используйте условие связи и решайте систему.
- В простой системе без трения \(a=\frac{m_2g}{m_1+m_2}\), а \(T=\frac{m_1m_2g}{m_1+m_2}\).
- Проверяйте направление движения, знаки проекций и физический смысл результата.