ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 16, 17 · ОГЭ

Разложение силы

Как представить одну силу через взаимно перпендикулярные или произвольно выбранные направления
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Разложение силы — это представление одного вектора силы в виде суммы нескольких составляющих, направленных по выбранным осям или направлениям. Такой приём превращает векторное уравнение в несколько обычных уравнений и особенно полезен при изучении сложения сил, законов Ньютона и равновесия тел.

Что означает разложить силу

Сила — векторная величина: у неё есть модуль, направление и точка приложения. Пусть сила \(\vec F\) направлена под углом \(\alpha\) к оси \(Ox\). Её можно заменить двумя силами: \(\vec F_x\), параллельной оси \(Ox\), и \(\vec F_y\), параллельной оси \(Oy\). Эти составляющие должны давать исходную силу при сложении сил.

D
Разложение силы

Разложение силы — представление вектора \(\vec F\) как суммы векторов-составляющих: \(\vec F=\vec F_x+\vec F_y\). Составляющие выбирают так, чтобы они были удобны для решения задачи, обычно вдоль координатных осей или вдоль и перпендикулярно поверхности.

T
Единственность разложения

Если заданы две непараллельные оси и направление силы, её составляющие вдоль этих осей определяются однозначно. При взаимно перпендикулярных осях составляющие являются катетами прямоугольного треугольника, а сила — его гипотенузой.

\(F\)
сила
Н
\(F_x, F_y\)
составляющие силы
Н
\(\alpha\)
угол между силой и осью
рад или °

Составляющие по прямоугольным осям

Выберем оси \(Ox\) и \(Oy\), перпендикулярные друг другу. Если угол \(\alpha\) отсчитывается от положительного направления оси \(Ox\) до вектора силы, то проекция силы на ось \(Ox\) равна прилежащему катету, а проекция на ось \(Oy\) — противолежащему катету.

\[F_x=F\cos\alpha\]
\[F_y=F\sin\alpha\]

Здесь \(F_x\) и \(F_y\) — алгебраические проекции силы на оси. Их знаки определяются направлением составляющей: если она направлена вдоль положительной полуоси, проекция положительна; если противоположно — отрицательна.

\[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\]
\[\tan\alpha=\frac{F_y}{F_x}\quad (F_x\ne 0)\]
OxOyFF_xF_yα
Разложение силы \(\vec F\) на составляющие \(\vec F_x\) и \(\vec F_y\).
Запомнить

Косинус относится к оси, от которой отсчитывают угол: если угол дан с осью \(Ox\), то \(F_x=F\cos\alpha\). Перпендикулярная составляющая находится через синус: \(F_y=F\sin\alpha\).

Знаки и выбор осей

Перед разложением силы нужно установить положительные направления осей. Обычно ось \(Ox\) направляют вдоль движения, поверхности или удобной желілер, а ось \(Oy\) — перпендикулярно ей. Такое построение подробно используется при разложении силы по осям.

  • Сила вправо или вверх относительно выбранной положительной полуоси имеет положительную проекцию.
  • Сила влево или вниз относительно положительной полуоси имеет отрицательную проекцию.
  • Если сила перпендикулярна оси, её проекция на эту ось равна нулю.
  • Если сила направлена вдоль оси, её проекция по модулю равна силе.

Важно различать вектор-составляющую и проекцию. Вектор \(\vec F_x\) имеет направление, а число \(F_x\) может быть положительным или отрицательным. В задачах на законы Ньютона обычно работают именно с алгебраическими проекциями.

Микро-проверка

Сила \(F\) образует угол \(60^\circ\) с положительным направлением оси \(Ox\). Какова её проекция на ось \(Ox\)?

Разложение силы на наклонной поверхности

На наклонной плоскости удобно выбрать ось \(Ox\) вдоль поверхности, а ось \(Oy\) — перпендикулярно поверхности. Например, силу тяжести \(\vec{mg}\) раскладывают на составляющую вдоль плоскости и составляющую, направленную к плоскости. Такой выбор связан с вектором нормали и помогает определить силу реакции опоры.

Если угол наклона плоскости к горизонту равен \(\alpha\), то для силы тяжести:

\[F_{g,x}=mg\sin\alpha\]
\[F_{g,y}=mg\cos\alpha\]

Составляющая \(mg\sin\alpha\) направлена вниз вдоль наклонной плоскости и стремится сдвинуть тело. Составляющая \(mg\cos\alpha\) перпендикулярна плоскости. При отсутствии других перпендикулярных сил и ускорения в этом направлении она участвует в условии \(N=mg\cos\alpha\).

Как не перепутать синус и косинус

Представьте прямоугольный треугольник составляющих. Составляющая, лежащая вдоль направления, с которым дан угол, прилежит к углу и находится через косинус. Составляющая, перпендикулярная этому направлению, находится через синус. На наклонной плоскости угол часто дан к горизонту, поэтому для силы тяжести вдоль плоскости получается \(mg\sin\alpha\).

Разобранный пример

Брусок находится на наклонной плоскости с углом наклона \(30^\circ\). Его масса \(m=4\ кг\). Разложить силу тяжести на составляющие вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Принять \(g=10\ Н/кг\).

№
Дано и план шешімдер

Сначала найдём силу тяжести \(mg\). Затем выберем ось \(Ox\) вдоль плоскости вниз, а ось \(Oy\) перпендикулярно плоскости внутрь неё. После этого применим формулы составляющих для угла наклона \(\alpha\).

1
Вычисляем модуль силы тяжести.
\(\displaystyle F_g=mg=4\cdot10=40\ \text{Н}\)
2
Находим составляющую вдоль наклонной плоскости.
\(\displaystyle F_{g,x}=mg\sin\alpha=40\sin30^\circ=40\cdot0{,}5=20\ \text{Н}\)
3
Находим составляющую перпендикулярно наклонной плоскости.
\(\displaystyle F_{g,y}=mg\cos\alpha=40\cos30^\circ=40\cdot\frac{\sqrt3}{2}=20\sqrt3\approx34{,}6\ \text{Н}\)
4
Проверяем результат по теореме Пифагора.
\(\displaystyle \sqrt{F_{g,x}^2+F_{g,y}^2}=\sqrt{20^2+(20\sqrt3)^2}=\sqrt{1600}=40\ \text{Н}\)

Жауабы: вдоль плоскости действует составляющая \(20\ Н\), перпендикулярно плоскости — составляющая примерно \(34{,}6\ Н\). Если брусок не отрывается от поверхности, перпендикулярная составляющая уравновешивается реакцией опоры. Вдоль плоскости дальнейшее движение определяется этой составляющей и силой трения.

Разложение силы в уравнениях движения

После выбора осей второй закон Ньютона записывают отдельно для каждой оси. Это особенно важно, когда ускорение направлено не по линии действия всех сил.

\[\sum F_x=ma_x\]
\[\sum F_y=ma_y\]

Каждая сила в этих уравнениях заменяется своей проекцией с учётом знака. Если тело покоится или движется равномерно по оси, соответствующая сумма проекций равна нулю. Например, для равновесия на наклонной плоскости полезно перейти к странице равновесие на наклонной плоскости, а сам выбор осей разобран на странице координатные оси на наклонной плоскости.

!
Частые ошибки

1. Используют \(\sin\) вместо \(\cos\) без анализа угла. 2. Забывают знаки проекций. 3. Складывают модули составляющих как обычные числа: правильно векторно, а для перпендикулярных составляющих — по теореме Пифагора. 4. Меняют угол наклона на угол между силой и осью, не проверив геометрию. 5. Пишут \(N=mg\) на наклонной плоскости без проверки: обычно \(N=mg\cos\alpha\) только при отсутствии других перпендикулярных сил.

Алгоритм шешімдер тапсырма

  1. Изобразите тело и все действующие на него силы.
  2. Выберите начало координат и положительные направления осей.
  3. Проведите оси так, чтобы как можно больше сил лежало вдоль них.
  4. Определите угол между каждой силой и выбранной осью.
  5. Разложите силы на проекции через синус и косинус.
  6. Запишите второй закон Ньютона по каждой оси и решите получившиеся уравнения.
  7. Проверьте размерность, знаки и восстановите модуль исходной силы.
Q
Жылдам тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · базалық проекции
Сила \(F\) направлена вдоль положительной оси \(Oy\). Чему равны её проекции?
Главное за минуту

Главное

  • Разложение силы означает представление \(\vec F\) как суммы составляющих по выбранным направлениям.
  • Для взаимно перпендикулярных осей: \(F_x=F\cos\alpha\), \(F_y=F\sin\alpha\), если угол отсчитывается от оси \(Ox\).
  • Знак проекции определяется направлением составляющей относительно положительной полуоси.
  • На наклонной плоскости удобно выбирать оси вдоль поверхности и перпендикулярно ей.
  • После разложения силы второй закон Ньютона записывают отдельно по каждой оси: \(\sum F_x=ma_x\), \(\sum F_y=ma_y\).