Равновесие жидкостей
Равновесие жидкостей изучает условия, при которых жидкость покоится, а её свободные поверхности и уровни не меняются. Для решения задач нужно уметь находить гидростатическое давление, применять закон сообщающихся сосудов и сравнивать плотности жидкостей.
Основные понятия
Жидкость в покое действует на дно и стенки сосуда давлением. Давление внутри жидкости зависит от плотности жидкости, ускорения свободного падения и глубины точки, но не зависит от формы сосуда. Считаем жидкость однородной, а сосуды — достаточно тонкими, если иное не указано в условии.
Гидростатическое равновесие — состояние жидкости, находящейся в покое. Давление столба жидкости высотой \(h\) называют гидростатическим: оно создаётся весом жидкости над рассматриваемой точкой.
Давление, создаваемое столбом жидкости, прямо пропорционально плотности жидкости и его высоте. Если сосуд открыт, полное давление в точке равно атмосферному давлению плюс давление столба жидкости.
Здесь \(p_0\) — давление на свободной поверхности. В открытом сосуде обычно \(p_0=p_{\text{атм}}\). Если сравниваются две точки в одной и той же жидкости, находящиеся на одной горизонтали и в сообщающейся части, их давления равны.
Сообщающиеся сосуды и уровни жидкости
Сообщающиеся сосуды — сосуды, соединённые каналом, по которому жидкость может перемещаться. В равновесии жидкость перетекает до тех пор, пока давление на одной горизонтали в соединяющей части не станет одинаковым.
Если в сообщающихся сосудах находится одна однородная жидкость, а поверхности открыты и на них действует одинаковое внешнее давление, то свободные поверхности устанавливаются на одном уровне, независимо от формы и площади сосудов.
Это правило объясняет, почему уровень жидкости в сосуде с узкой трубкой и в широком сосуде оказывается одинаковым. В широком сосуде содержится больше жидкости, но давление на одном уровне определяется не объёмом, а высотой столба.
Две жидкости разной плотности
Если в сообщающихся сосудах находятся несмешивающиеся жидкости, их уровни обычно различаются. На одной горизонтали, проходящей через границу раздела или ниже неё, давления должны быть равны. Это и есть уравнение равновесия двух жидкостей.
Для двух открытых сосудов с разными жидкостями выбирают горизонтальный уровень в одной жидкости или на границе раздела. Давления слева и справа на этой горизонтали равны: \(p_1=p_2\). Атмосферные давления, если они одинаковы, сокращаются.
В этой формуле \(h_1\) и \(h_2\) — высоты столбов жидкостей от выбранной горизонтали до их свободных поверхностей. Из неё следует: чем больше плотность жидкости, тем меньше высота её столба при равновесии.
В сообщающихся сосудах стоят вода и масло. Какая жидкость образует более высокий столб над границей раздела?
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Сделайте схему: отметьте свободные поверхности, границу бөлімнің и соединяющую часть сосудов.
- Выберите горизонтальный деңгей, на котором удобно сравнить давления.
- Запишите давление с каждой стороны как сумму давления на поверхности и давлений столбов жидкости.
- При одинаковом внешнем давлении сократите атмосферные давления.
- Подставьте плотности в единицах СИ и решите полученное уравнение.
Высота столба измеряется вертикально от свободной поверхности до выбранного уровня сравнения, а не от дна сосуда. Если граница раздела находится в одном колене, удобнее выбирать уровень именно на границе.
Разобранный пример
В левом колене находится вода плотностью \(1000\ \text{кг/м}^3\), в правом — масло плотностью \(800\ \text{кг/м}^3\). Высота столба воды над границей бөлімнің равна \(12\ \text{см}\). Найдите высоту столба масла над этой границей.
Жауабы: высота столба масла над границей бөлімнің равна \(15\ \text{см}\). Масло имеет меньшую плотность, поэтому его столб выше на \(3\ \text{см}\).
Внешнее давление и особые случаи
Если сосуды закрыты и на поверхности жидкостей действуют разные давления, уровни зависят не только от плотностей. Для выбранного уровня нужно записывать полные давления: \(p_{1}+\rho_1gh_1\) и \(p_{2}+\rho_2gh_2\). При равновесии они равны.
Если одна жидкость налита поверх другой и жидкости не смешиваются, более плотная жидкость располагается ниже. Если условие задачи говорит, что сосуды соединены после наливания, учитывают перетекание: конечные уровни определяются только состоянием равновесия, а не исходным расположением.
1. Приравнивают высоты столбов разных жидкостей вместо произведений \(\rho h\). 2. Измеряют высоту от дна, хотя нужно измерять от свободной поверхности до уровня сравнения. 3. Забывают атмосферное давление при разных давлениях над поверхностями. 4. Используют сантиметры вместе с плотностью в \(\text{кг/м}^3\) без перевода в метры. 5. Считают, что широкое колено создаёт большее давление: давление зависит от высоты и плотности, а не от площади сосуда.
Связь с другими задачами
Понятие свободной поверхности важно при определении высоты столба: свободная поверхность жидкости — граница жидкости с газом. Для задач с несколькими сосудами полезно сначала повторить гидростатическое давление, а затем перейти к странице деңгей жидкости в сосудах, где разобраны более сложные изменения уровней. Соединение сосудов с разными жидкостями рассматривается подробнее в задачах о соединении сосудов с разными жидкостями.
Быстрая проверка
Главное
- В открытых сосудах одна и та же жидкость устанавливается на одном уровне.
- В равновесии давления на одной горизонтали в сообщающейся жидкости равны.
- Для двух жидкостей при одинаковом внешнем давлении: \(\rho_1h_1=\rho_2h_2\).
- Меньшей плотности соответствует больший столб жидкости.
- Высоту столба отсчитывают от свободной поверхности до деңгейі сравнения.
- Всегда проверяйте единицы: плотность — кг/м³, высота — м, давление — Па.