Соединение сосудов с разными жидкостями
Если в соединённые сосуды налиты разные несмешивающиеся жидкости, их уровни обычно оказываются разными. Чтобы найти высоты столбов и давления, нужно выбрать горизонтальный уровень сравнения и приравнять давления в одной и той же жидкости на одной горизонтали.
Основные понятия и условие равновесия
Сообщающиеся сосуды — это сосуды, соединённые каналом или трубкой, по которой жидкость может перемещаться. В открытых сосудах свободные поверхности соприкасаются с атмосферой. Если жидкость одна и находится в покое, её уровни устанавливаются на одной высоте.
Для разных жидкостей важны плотности и высоты столбов. Более плотная жидкость при одинаковом давлении создаёт нужное давление меньшим по высоте столбом. Поэтому в равновесии столб более плотной жидкости обычно ниже, а столб менее плотной жидкости — выше.
Давление столба неподвижной жидкости плотности \(\rho\) высотой \(h\) на глубине \(h\) относительно свободной поверхности равно \(p=\rho gh\). Полное давление с учётом внешнего давления \(p_0\): \(p=p_0+\rho gh\). Подробнее см. страницу о гидростатическом давлении.
В покоящейся однородной жидкости давления в точках, лежащих на одной горизонтали, равны. Если сосуды открыты, атмосферное давление действует на обе поверхности и при сравнении обычно сокращается.
Главная формула для двух жидкостей
Рассмотрим два открытых вертикальных сосуда. В левом сосуде находится жидкость плотности \(\rho_1\), в правом — жидкость плотности \(\rho_2\). Пусть жидкости соприкасаются в соединительной части, а их свободные поверхности находятся выше границы раздела на высоты \(h_1\) и \(h_2\).
На границе раздела давления должны быть одинаковыми. Так как сосуды открыты, сверху на оба столба действует одно и то же атмосферное давление \(p_0\).
Это основное соотношение для двух жидкостей. Оно показывает: высоты столбов обратно пропорциональны плотностям.
Проводите мысленную горизонталь через границу раздела или через точки, находящиеся в одной и той же жидкости. Затем записывайте давление, двигаясь от свободной поверхности вниз: каждое погружение добавляет слагаемое \(\rho gh\).
Алгоритм решения задач
- Сделайте схему: отметьте свободные поверхности, границы жидкостей, известные высоты и плотности.
- Определите, открыты ли сосуды. Для открытых сосудов запишите одинаковое атмосферное давление \(p_0\) на свободных поверхностях.
- Выберите горизонтальный уровень сравнения. Он должен проходить через одну жидкость или через границу раздела.
- Запишите давление слева и справа на выбранном уровне. Сверху вниз прибавляйте \(\rho gh\) для каждого пройденного слоя.
- Приравняйте давления. Сократите одинаковые слагаемые, чаще всего \(p_0\) и \(g\).
- Решите уравнение, проверьте единицы и сравните результат с физическим смыслом: более плотная жидкость должна иметь меньшую высоту при равных давлениях.
В сообщающихся сосудах находятся вода (\(\rho_в=1000\,\text{кг/м}^3\)) и масло (\(\rho_м=800\,\text{кг/м}^3\)). Какая жидкость образует более высокий столб над границей раздела?
Разобранный пример
В левом сосуде находится вода плотности \(1000\,\text{кг/м}^3\), в правом — масло плотности \(800\,\text{кг/м}^3\). Высота столба воды над границей раздела равна \(12\,\text{см}\). Найдите высоту столба масла.
Ответ: высота столба масла над границей раздела равна \(15\,\text{см}\). Разность уровней свободных поверхностей составляет \(15-12=3\,\text{см}\).
Если сосуды закрыты или жидкостей несколько
Если над жидкостями находятся разные газы или поршни, давления на свободные поверхности могут отличаться. Тогда атмосферные давления не сокращаются, и нужно сохранять их в уравнении:
При трёх и более слоях давление на выбранном уровне складывается из давления сверху и вкладов всех слоёв. Например, если сверху вниз расположены слои плотностей \(\rho_1\), \(\rho_2\) и высот \(h_1\), \(h_2\), то давление внизу равно \(p_0+\rho_1gh_1+\rho_2gh_2\). В задачах с несколькими жидкостями полезно составлять отдельную «цепочку давления» для каждого сосуда.
Условие равновесия связано с общим равновесием жидкостей: жидкость не должна иметь причины перетекать. Если на одном уровне давление больше, жидкость начнёт двигаться в сторону меньшего давления.
1. Сравнивают высоты от дна, хотя нужны высоты столбов над границей раздела. 2. Используют формулу \(\rho_1h_1=\rho_2h_2\), когда внешние давления различны. 3. Забывают перевести сантиметры в метры. 4. Приписывают большую высоту более плотной жидкости. 5. Приравнивают давления в точках, которые не лежат на одной горизонтали или не соединены одной непрерывной жидкостью.
На одном уровне в равновесной жидкости давления равны. Записывайте: «давление сверху + давление каждого столба». Для открытых сосудов обычно получается \(\rho_1h_1=\rho_2h_2\).
Проверь себя
Главное
- В покоящейся непрерывной жидкости давления на одной горизонтали равны.
- Для двух открытых сосудов с разными жидкостями: \(\rho_1h_1=\rho_2h_2\).
- Высота столба обратно пропорциональна плотности жидкости.
- При разных внешних давлениях нужно использовать полное уравнение: \(p_{01}+\rho_1gh_1=p_{02}+\rho_2gh_2\).
- Решение начинайте со схемы и выбора горизонтального уровня; затем двигайтесь сверху вниз, складывая давления слоёв.