Равновесие нескольких сил

Тело находится в равновесии, если оно не изменяет поступательное движение и не начинает вращаться. Для решения задач нужно одновременно проверить равенство нулю векторной суммы всех сил и суммы моментов этих сил относительно удобной точки.

Условия равновесия

На тело могут действовать сила тяжести, реакция опоры, сила натяжения, сила трения, внешняя сила и другие силы. Если тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, его ускорение равно нулю. По второму закону Ньютона это означает, что равнодействующая всех сил равна нулю.

Первое условие удобно записывать по координатным осям. На плоскости обычно получают два уравнения: \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\). Второе условие особенно полезно, когда неизвестны силы реакции или натяжения: точку для моментов выбирают так, чтобы одна или несколько неизвестных сил не создавали момента.

Составление уравнений сил

Сначала изобразите тело и все силы, действующие на него. Такой рисунок называют схемой сил. Не следует добавлять силы, которые тело оказывает на другие тела: на схеме оставляют только силы, приложенные к рассматриваемому телу.

1. Выберите тело или систему тел, равновесие которой нужно исследовать.
2. Изобразите все действующие силы: силу тяжести направьте вертикально вниз, реакцию опоры — перпендикулярно поверхности, силу натяжения — вдоль нити.
3. Выберите оси координат. Одну из осей удобно направить вдоль возможного движения или вдоль наклонной плоскости.
4. Разложите наклонные силы на проекции и запишите \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\).

Для силы тяжести используют \(P=mg\). На горизонтальной опоре при отсутствии вертикального ускорения реакция опоры обычно равна \(N=mg\), но это равенство нельзя применять автоматически: оно изменяется при наличии других вертикальных сил, наклона или ускорения.

Моменты и вращательное равновесие

Сила может не только перемещать тело, но и вращать его. Вращательное действие силы характеризует момент силы относительно точки. Он равен произведению силы на её плечо — кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы.

Если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, момент можно считать положительным, а если по часовой стрелке — отрицательным. В задачах допустимо выбрать и обратное правило, но знаки должны использоваться последовательно.

Силы, линии действия которых проходят через выбранную точку \(O\), имеют нулевой момент относительно этой точки. Поэтому для балки или рычага удобно брать за точку моментов опору: момент реакции опоры исчезает из уравнения.

Алгоритм решения задач

• Сделайте рисунок и укажите точку приложения каждой силы.
• Выберите тело или систему тел.
• Запишите условия равновесия по проекциям сил.
• Выберите точку для моментов и определите плечо каждой силы.
• Запишите сумму моментов с правильными знаками.
• Решите систему уравнений и проверьте единицы измерения и смысл результата.

Ответ: натяжение нити \(T=150\,\text{Н}\), вертикальная составляющая реакции шарнира \(R_y=150\,\text{Н}\). Сначала найдено уравнение моментов, потому что оно не содержит реакцию шарнира; затем использовано условие равенства сил.

Системы тел и особые случаи

Если несколько тел соединены нитями, блоками или соприкасаются, можно рассматривать каждое тело отдельно или всю систему сразу. При рассмотрении всей системы внутренние силы взаимно уничтожаются, поэтому остаются только внешние силы. Такой приём часто упрощает задачу о равновесии системы тел.

Если тело находится на наклонной плоскости, силу тяжести раскладывают на составляющие: вдоль плоскости \(mg\sin\alpha\), перпендикулярно плоскости \(mg\cos\alpha\). При наличии трения сила трения направлена против возможного или наблюдаемого скольжения; её величина при предельном равновесии равна \(F_{\text{тр}}=\mu N\). Подробнее этот случай рассмотрен на странице трения на наклонной плоскости.

Быстрая проверка