Равнопеременное движение
Равнопеременное движение — это движение, при котором ускорение тела постоянно по модулю и направлению. Зная начальную скорость, ускорение и время, можно найти скорость, перемещение, путь и координату тела.
Основные понятия и величины
Перед изучением темы полезно повторить равномерное прямолинейное движение: при нём скорость постоянна, а ускорение равно нулю. В равнопеременном движении скорость изменяется на одинаковую величину за одинаковые промежутки времени.
Равнопеременное движение — движение с постоянным ускорением: \(\vec a=\text{const}\). Если ускорение направлено так же, как начальная скорость, движение называют равноускоренным; если противоположно скорости — равнозамедленным.
Ускорение показывает, как изменяется скорость за единицу времени. При постоянном ускорении \(a=\frac{v-v_0}{t}\), где \(v_0\) — начальная скорость, \(v\) — скорость через время \(t\).
Для решения задач выбирают ось координат и положительное направление. Скорость и ускорение, направленные вдоль положительной оси, считают положительными, а направленные противоположно — отрицательными. Поэтому знак ускорения определяется не только тем, ускоряется тело или замедляется, но и выбранным направлением оси.
Скорость и ускорение
При постоянном ускорении скорость линейно зависит от времени. Изменение скорости равно произведению ускорения на время: \(\Delta v=at\).
Если \(a>0\), то проекция скорости увеличивается. Если \(a<0\), она уменьшается. Однако при движении в отрицательном направлении скорость может быть отрицательной, а её модуль при этом увеличиваться. Поэтому слова «ускоряется» и «замедляется» нужно связывать с модулем скорости, а не только со знаком \(a\).
Из формулы (1) можно выразить любую величину: \(v_0=v-at\), \(t=\frac{v-v_0}{a}\) при \(a\ne0\). В задачах обязательно проверяйте единицы: если скорость дана в км/ч, её переводят в м/с умножением на \(\frac{5}{18}\).
Перемещение, путь и координата
Перемещение — вектор от начального положения тела к конечному. В одномерном движении его проекция равна разности координат: \(\Delta x=x-x_0\). Путь \(s\) — длина траектории; он не бывает отрицательным. Если тело всё время движется в одном направлении, путь совпадает с модулем перемещения.
Перемещение равно произведению средней скорости на время. При постоянном ускорении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей.
Формула (4) получается из формул (1) и (3). Она особенно удобна, когда известны \(v_0\), \(a\) и \(t\), но конечная скорость не дана.
Координата отличается от перемещения начальной координатой \(x_0\). Если начало отсчёта выбрано в начальной точке, то \(x_0=0\) и \(x=\Delta x\). При движении вдоль одной прямой путь можно находить по перемещению только после проверки, не было ли остановки и разворота. Условия таких событий разобраны на странице остановки и разворота.
Если время движения неизвестно, используют связь скорости, ускорения и перемещения: \(v^2-v_0^2=2a\Delta x\). Эта формула удобна в задачах на разгон или торможение на известном расстоянии.
Тело начинает движение со скоростью \(v_0=4\ \text{м/с}\) и движется с ускорением \(a=2\ \text{м/с}^2\). Какова его скорость через \(3\) с?
Разобранный пример
Автомобиль движется со скоростью \(v_0=10\) м/с и начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=2\) м/с². Найдём скорость и путь за \(5\) с.
Ответ: через \(5\) с автомобиль движется со скоростью \(20\) м/с и проходит путь \(75\) м. Два способа вычисления пути дали один результат, значит решение согласовано.
Графики и особые случаи
На графике \(v(t)\) при постоянном ускорении получается прямая. Её наклон показывает ускорение, а площадь под графиком — перемещение. Подробнее графики движения рассматриваются на странице графики движения, а нахождение пути по площади — на странице нахождение пути по графику скорости.
Если тело начинает движение из покоя, \(v_0=0\), поэтому \(v=at\), а \(\Delta x=\frac{at^2}{2}\). Если ускорение равно нулю, формулы переходят в формулы равномерного движения: \(v=v_0\), \(\Delta x=v_0t\).
Свободное падение — частный случай равнопеременного движения: ускорение свободного падения направлено вниз и вблизи поверхности Земли примерно равно \(9{,}8\) м/с². При выборе оси вверх оно имеет знак минус.
Не путайте путь и перемещение: путь неотрицателен, а перемещение может быть отрицательным. Не подставляйте модуль ускорения вместо его проекции со знаком. Не используйте \(s=v_0t\) при ненулевом ускорении. Если тело остановилось и развернулось, путь нельзя находить как \(|\Delta x|\) за всё время.
1) Запишите известные величины в СИ. 2) Выберите ось и знаки. 3) Определите, что требуется найти: скорость, координату, путь или перемещение. 4) Выберите формулу, содержащую известные величины. 5) Проверьте знак, единицы и физический смысл ответа. При необходимости используйте кинематическую связь.
Проверь себя
Главное
- При равнопеременном движении ускорение постоянно: \(a=\text{const}\).
- Скорость определяется формулой \(v=v_0+at\).
- Перемещение и координата: \(\Delta x=v_0t+\frac{at^2}{2}\) и \(x=x_0+\Delta x\).
- Без времени используют связь \(v^2=v_0^2+2a\Delta x\).
- Путь равен модулю перемещения только при движении без остановки и разворота; знаки величин зависят от выбранной оси.