Работа и энергия при движении
Работа силы показывает, как действие силы изменяет энергию тела или системы тел. В этой теме связываются работа силы, кинетическая энергия и потенциальная энергия: работа равнодействующей изменяет кинетическую энергию, а работа консервативной силы связана с изменением потенциальной энергии.
Работа и кинетическая энергия
Если на тело действует постоянная сила \(\vec F\), а перемещение тела равно \(\vec s\), то работа силы определяется скалярным произведением \(\vec F\) и \(\vec s\). При угле \(\alpha\) между ними работа равна \(A=Fs\cos\alpha\). Работа положительна, если сила имеет составляющую по направлению движения, отрицательна — если против движения, и равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению.
Кинетическая энергия тела — энергия его движения. Для тела массой \(m\), движущегося со скоростью \(v\), она равна \(E_k=\frac{mv^2}{2}\). Кинетическая энергия является скалярной величиной и не бывает отрицательной.
Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: \(A_{\text{рез}}=E_{k2}-E_{k1}\). Поэтому положительная работа увеличивает скорость, отрицательная уменьшает её, а нулевая работа не изменяет модуль скорости.
Теорема справедлива и при переменной силе: тогда работа вычисляется как площадь под графиком зависимости проекции силы от координаты. Если тело движется по прямой, \(A=\int_{x_1}^{x_2}F_x\,dx\). В школьных задачах чаще встречаются постоянные силы или участки, на которых сила постоянна.
Потенциальная энергия и работа консервативной силы
Потенциальная энергия связана с взаимным расположением тел или частей одного тела. Она определяется с точностью до произвольной постоянной: важно не абсолютное значение, а разность потенциальных энергий между двумя положениями.
Потенциальная энергия — энергия, зависящая от положения тела в поле консервативных сил или от взаимного положения взаимодействующих тел. Консервативными в школьных задачах считают силу тяжести и силу упругости.
Вблизи поверхности Земли нулевой уровень потенциальной энергии выбирают произвольно. Если высота отсчитывается от выбранного уровня, потенциальная энергия тела в поле тяжести равна \(E_p=mgh\). При подъёме тело получает энергию, при падении теряет её.
Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высот, а не от формы траектории. При перемещении из положения 1 в положение 2 работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии.
Для пружины жёсткости \(k\) при деформации \(x\) потенциальная энергия упругой деформации равна \(E_{p,\text{упр}}=\frac{kx^2}{2}\). Здесь \(x\) — удлинение или сжатие относительно недеформированного состояния.
Мяч движется горизонтально, а сила тяжести направлена вертикально вниз. Какова работа силы тяжести на этом участке?
Закон сохранения механической энергии
Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной: \(E=E_k+E_p\). Если действуют только консервативные силы, например сила тяжести и сила упругости, механическая энергия сохраняется. Кинетическая энергия при этом может превращаться в потенциальную и обратно.
В замкнутой системе, где отсутствуют трение и сопротивление среды либо их работа пренебрежимо мала, сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна: \(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\).
Если присутствуют неконсервативные силы, например трение, механическая энергия не сохраняется. Работа этих сил равна изменению полной механической энергии системы: \(A_{\text{неконс}}=\Delta(E_k+E_p)\). При трении работа отрицательна, поэтому механическая энергия уменьшается и переходит главным образом во внутреннюю энергию.
Если в условии нет трения и сопротивления, сначала попробуйте закон сохранения механической энергии. Если известна работа равнодействующей или действует трение, удобнее применить теорему о кинетической энергии.
Разобранный пример: разгон санок на наклонной плоскости
Санки массой \(m=2\,\text{кг\) скользят без трения с высоты \(h=1{,}8\,\text{м}\), начиная движение из состояния покоя. Найдём скорость у основания. Примем \(g=10\,\text{м/с}^2\), нулевой уровень потенциальной энергии — у основания.
Сила тяжести — консервативная, трения нет, поэтому механическая энергия сохраняется. Форма наклонной плоскости и её длина не нужны: важна только разность высот.
Ответ: \(v=6\,\text{м/с}\). Масса санок сократилась, поэтому в идеальной задаче скорость зависит от высоты и ускорения свободного падения, но не от массы.
Алгоритм решения задач
- Выберите систему тел и начальное и конечное состояния.
- Сделайте рисунок, укажите силы, перемещения, высоты и скорости.
- Определите, какие силы совершают работу. Для каждой силы установите знак работы.
- Выберите подходящее соотношение: \(A_{\text{рез}}=\Delta E_k\) или \(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\).
- Подставьте величины в единицах СИ и проверьте размерность и физический смысл ответа.
Не путайте работу отдельной силы с работой равнодействующей: теорема о кинетической энергии использует сумму работ всех сил. Не ставьте в формулу \(mgh\) длину наклонной плоскости вместо высоты. Учитывайте знак работы трения: она отрицательна. Потенциальную энергию можно отсчитывать от любого уровня, но один и тот же нулевой уровень должен использоваться в обоих состояниях.
Проверь себя
Главное
- Работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии: \(A_{\text{рез}}=\Delta E_k\).
- Потенциальная энергия в поле тяжести равна \(mgh\), а работа силы тяжести — убыли потенциальной энергии.
- При отсутствии трения сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий.
- Работа трения и других неконсервативных сил изменяет механическую энергию системы.
- В задачах сначала выберите состояния, нулевой уровень высоты и подходящий закон.