Задание № 21 · ОГЭ

Вывод второй космической скорости

Вывод формулы через закон сохранения механической энергии

5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно удалилось от неё на бесконечно большое расстояние и больше не вернулось. Её формулу получают из закона сохранения механической энергии, приравнивая начальную энергию тела к энергии на бесконечности.

Физический смысл второй космической скорости

Рассмотрим тело массой $m$, находящееся у поверхности планеты радиусом $R$ и массой $M$. Тело запускают вертикально вверх с начальной скоростью $v_2$. Сопротивлением атмосферы, вращением планеты и влиянием других небесных тел пренебрегаем.

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость $v_2$ — минимальная скорость у поверхности планеты, при которой тело может преодолеть её гравитационное притяжение и удалиться на бесконечность. Для минимальной скорости тело достигает бесконечности с нулевой скоростью.

Условие ухода

При скорости, равной второй космической, тело на бесконечности имеет $v=0$. Если скорость меньше, тело остановится на конечном расстоянии и упадёт обратно. Если скорость больше, тело также улетит, но с ненулевой скоростью на бесконечности.

$M$

масса планеты

кг

$R$

радиус планеты

$m$

масса тела

кг

$G$

гравитационная постоянная

Н·м²/кг²

$v_2$

вторая космическая скорость

м/с

Энергия тела в поле тяготения

Для расстояния $r$ от центра планеты гравитационная потенциальная энергия тела равна $E_p=-\frac{GMm}{r}$. Нуль потенциальной энергии выбирают на бесконечности: при $r\to\infty$ величина $E_p$ стремится к нулю. Знак «минус» показывает, что тело связано с планетой: чтобы удалить его бесконечно далеко, нужно сообщить положительную энергию.

\[E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{r}\]

Эта формула выражает механическую энергию тела в гравитационном поле. В отличие от формулы потенциальной энергии около поверхности Земли $mgh$, она подходит для больших расстояний, сравнимых с радиусом планеты. Подробно о выборе нулевого уровня энергии см. страницу гравитационный потенциал.

Расстояние $r$ отсчитывается от центра планеты; у поверхности $r=R$.

Вывод формулы второй космической скорости

Запишем закон сохранения механической энергии для двух положений: у поверхности планеты и на бесконечности. В начальный момент $r=R$, скорость тела равна $v_2$. В конечном состоянии $r\to\infty$, а скорость минимально необходимого запуска равна нулю.

Записываем механическую энергию тела у поверхности планеты.

$\displaystyle E_1=\frac{m v_2^2}{2}-\frac{GMm}{R}$

На бесконечности при минимальной скорости кинетическая и потенциальная энергии равны нулю.

$\displaystyle E_2=\frac{m\cdot 0^2}{2}-\frac{GMm}{\infty}=0$

По закону сохранения механической энергии начальная и конечная энергии равны.

$\displaystyle \frac{m v_2^2}{2}-\frac{GMm}{R}=0$

Переносим потенциальный член вправо и сокращаем массу тела $m$.

$\displaystyle \frac{v_2^2}{2}=\frac{GM}{R}$

Умножаем на 2 и извлекаем положительный квадратный корень, поскольку скорость — неотрицательная величина.

$\displaystyle \boxed{v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

Формула второй космической скорости

Для сферически симметричной планеты без учёта сопротивления атмосферы и вращения планеты $\boxed{v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$. Скорость не зависит от массы запускаемого тела: масса $m$ сократилась при выводе.

У поверхности планеты ускорение свободного падения связано с её массой и радиусом формулой $g=\frac{GM}{R^2}$. Поэтому формулу можно записать и так:

\[v_2=\sqrt{2gR}\]

Для Земли получаем примерно $v_2\approx11{,}2\ \text{км/с}$. Это значение измеряют относительно поверхности Земли и при идеализированных условиях. Реальная ракета должна дополнительно преодолевать сопротивление атмосферы и потери энергии.

Проверь себя

Почему в формуле второй космической скорости масса тела $m$ не появляется?

Разобранный пример

№

Пример: скорость ухода с поверхности Земли

Найдём вторую космическую скорость для Земли, если $g=9{,}8\ \text{м/с}^2$, а $R=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}$. Используем форму без массы Земли: $v_2=\sqrt{2gR}$.

Подставляем известные величины в формулу.

$\displaystyle v_2=\sqrt{2\cdot9{,}8\cdot6{,}4\cdot10^6}$

Выполняем умножение под знаком корня.

$\displaystyle v_2=\sqrt{1{,}2544\cdot10^8}\ \text{м/с}$

Извлекаем квадратный корень и переводим метры в секунду в километры в секунду.

$\displaystyle v_2\approx1{,}12\cdot10^4\ \text{м/с}=11{,}2\ \text{км/с}$

Ответ: $v_2\approx11{,}2\ \text{км/с}$. Если в условии даны $M$ и $R$, применяйте формулу $\sqrt{2GM/R}$; если даны $g$ и $R$, удобнее использовать $\sqrt{2gR}$.

Связь с первой космической скоростью

Первая космическая скорость — скорость движения по круговой орбите у поверхности планеты. Из равенства гравитационной силы и центростремительной силы получают $v_1=\sqrt{GM/R}$. Поэтому вторая космическая скорость больше первой в $\sqrt{2}$ раз:

\[v_2=\sqrt{2}\,v_1\]

При первой космической скорости тело остаётся связанным с планетой и движется по орбите. При второй космической оно получает ровно столько энергии, чтобы граница связанного движения оказалась на бесконечности. Связь орбитальных скоростей также рассматривается в теме вторая космическая скорость.

Частые ошибки

1. Использовать $mgh$ для полёта на бесконечность: эта формула применима только при небольших изменениях высоты. 2. Ставить в конечном состоянии скорость, отличную от нуля: это уже не минимальная вторая космическая скорость. 3. Забывать, что $R$ — расстояние от центра планеты до поверхности. 4. Брать отрицательный корень: скорость выбирают положительной. 5. Путать вторую космическую скорость с горизонтальной скоростью выхода на орбиту.

Алгоритм решения

Сначала выберите нулевой уровень потенциальной энергии на бесконечности. Затем запишите полную энергию у поверхности и на бесконечности, приравняйте их, положите конечную скорость равной нулю и проверьте единицы измерения.

Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · формула

Как изменится вторая космическая скорость при увеличении радиуса планеты в 4 раза без изменения её массы?

Главное за минуту

Главное

Вторая космическая скорость — минимальная скорость ухода тела на бесконечность.
При минимальном запуске на бесконечности $v_\infty=0$, а потенциальная энергия равна нулю.
Из закона сохранения энергии получается $v_2=\sqrt{2GM/R}=\sqrt{2gR}$.
Идеальная скорость не зависит от массы запускаемого тела; для Земли она примерно равна $11{,}2\ \text{км/с}.
Для решения задач важно правильно выбрать нулевой уровень потенциальной энергии и использовать расстояние от центра планеты.