ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 12, 16 · ОГЭ

Наклонная плоскость

Разложение сил, движение тела и трение на наклонной плоскости
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Наклонная плоскость помогает заменить сложное движение тела по наклонной поверхности двумя простыми направлениями: вдоль плоскости и перпендикулярно ей. В этой теме мы разберём разложение сил на составляющие, вектор нормали, реакцию опоры, движение без трения и с трением.

1. Геометрия наклонной плоскости и выбор осей

Наклонная плоскость образует с горизонтом угол \(\alpha\). На тело действуют сила тяжести \(\vec{F}_{т}=m\vec{g}\), реакция опоры \(\vec{N}\) и, если поверхность шероховатая, сила трения \(\vec{F}_{тр}\). Удобнее всего выбрать ось \(Ox\) вдоль плоскости, обычно вниз по склону, а ось \(Oy\) перпендикулярно плоскости наружу. Подробный выбор направлений разобран на странице координатных осей на наклонной плоскости.

FтNOxOyнаклонная плоскостьα
Тело на наклонной плоскости: ось \(Ox\) направлена вдоль склона, ось \(Oy\) — перпендикулярно ему.
D
Наклонная плоскость

Наклонная плоскость — поверхность, расположенная под углом к горизонту. Угол наклона обозначают \(\alpha\); он равен углу между плоскостью и горизонтальным направлением.

Как не ошибиться с осями

Сначала нарисуйте тело и все силы, затем проведите оси. Не следует автоматически считать вертикальное направление одной из осей: для движения по наклонной плоскости удобнее ось вдоль склона.

\(m\)
масса
кг
\(g\)
ускорение свободного падения
м/с²
\(N\)
реакция опоры
Н
\(F_{тр}\)
сила трения
Н
\(a\)
ускорение
м/с²
\(\alpha\)
угол наклона
градус

2. Разложение силы тяжести

Силу тяжести направляют вертикально вниз. Её удобно разложить на две составляющие: \(F_{тx}\) вдоль наклонной плоскости и \(F_{тy}\) перпендикулярно ей. Это частный случай общего разложения силы на составляющие.

\[F_{т}=mg\]
\[F_{тx}=mg\sin\alpha\]
\[F_{тy}=mg\cos\alpha\]

Составляющая \(mg\sin\alpha\) стремится сдвинуть тело вниз по плоскости. Составляющая \(mg\cos\alpha\) прижимает тело к поверхности. При увеличении угла \(\alpha\) первая составляющая увеличивается, а вторая уменьшается.

T
Правило проекций

Если угол наклона отсчитывается от горизонта, то проекция силы тяжести вдоль плоскости равна \(mg\sin\alpha\), а перпендикулярная составляющая равна \(mg\cos\alpha\). Если угол задан иначе, сначала определите, с каким направлением он образован.

3. Теңдеулер движения без трения

Рассмотрим тело на гладкой плоскости. В направлении \(Oy\) тело не движется и не отрывается от поверхности, поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю. В направлении \(Ox\) тело ускоряется под действием составляющей силы тяжести.

1
Записываем второй закон Ньютона для оси \(Oy\):
\(\displaystyle N-mg\cos\alpha=0\)
2
Находим реакцию опоры:
\(\displaystyle N=mg\cos\alpha\)
3
Для оси \(Ox\) выбираем положительное направление вниз по плоскости:
\(\displaystyle ma=mg\sin\alpha\)
4
Делим равенство на массу тела:
\(\displaystyle a=g\sin\alpha\)
\[a=g\sin\alpha\quad\text{(гладкая наклонная плоскость)}\]1

Масса тела в формуле ускорения сократилась. Поэтому на гладкой наклонной плоскости тела, брошенные или отпущенные одновременно, имеют одинаковое ускорение независимо от массы. Скорость и путь можно находить обычными формулами равноускоренного движения.

\[v=v_0+at\]
\[s=v_0t+\frac{at^2}{2}\]
Микро-проверка

Как изменится ускорение тела на гладкой наклонной плоскости, если угол наклона увеличить от \(30^\circ\) до \(60^\circ\)?

4. Трение и сила реакции опоры

Если поверхность шероховатая, возникает сила трения, направленная против относительного движения или возможного движения. Для скольжения используют связь с коэффициентом трения: \(F_{тр}=\mu N\). На странице трение на наклонной плоскости рассмотрены разные случаи действия этой силы.

\[F_{тр}=\mu N=\mu mg\cos\alpha\]

На неподвижном теле сила трения покоя не всегда равна \(\mu N\). Она принимает такое значение, которое необходимо для равновесия, но не превосходит максимального значения \(\mu N\). Если тело скользит вниз, сила трения направлена вверх по плоскости.

\[ma=mg\sin\alpha-F_{тр}\]
1
Подставляем силу трения скольжения:
\(\displaystyle ma=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha\)
2
Выносим \(mg\) за скобки:
\(\displaystyle ma=mg(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\)
3
Сокращаем массу:
\(\displaystyle a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\)
\[a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\quad\text{(скольжение вниз)}\]
T
Реакция опоры

Если тело не ускоряется перпендикулярно плоскости и на него не действуют другие силы в этом направлении, то \(N=mg\cos\alpha\). Реакция опоры не равна \(mg\): она равна перпендикулярной составляющей силы тяжести. Подробнее — реакция опоры на наклонной плоскости.

!
Частые ошибки

1. Направляют трение не против движения, а по движению. 2. Пишут \(F_{тр}=\mu mg\), забывая множитель \(\cos\alpha\). 3. Используют \(mg\cos\alpha\) вдоль плоскости вместо \(mg\sin\alpha\). 4. Сразу подставляют числа, не записав проекции сил. 5. Путают силу трения покоя и силу трения скольжения.

5. Разобранный пример

№
Брусок скользит вниз

Брусок массой \(2\) кг скользит вниз по плоскости с углом наклона \(30^\circ\). Коэффициент трения скольжения \(\mu=0{,}20\), \(g=10\) м/с². Найдём ускорение и силу реакции опоры.

Показать Шешім по шагам Шешім

Выбираем ось \(Ox\) вниз по плоскости, а \(Oy\) перпендикулярно ей. Сначала находим реакцию опоры, затем силу трения и ускорение.

1
Перпендикулярная составляющая силы тяжести уравновешивается реакцией опоры:
\(\displaystyle N=mg\cos30^\circ=2\cdot10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\ \text{Н}\)
2
Находим силу трения:
\(\displaystyle F_{тр}=\mu N=0{,}20\cdot10\sqrt3=2\sqrt3\ \text{Н}\)
3
Записываем второй закон Ньютона вдоль плоскости:
\(\displaystyle ma=mg\sin30^\circ-F_{тр}\)
4
Подставляем значения:
\(\displaystyle 2a=2\cdot10\cdot\frac12-2\sqrt3=10-2\sqrt3\)
5
Получаем ускорение:
\(\displaystyle a=5-\sqrt3\approx3{,}27\ \text{м/с}^2\)

Жауабы: \(N=10\sqrt3\approx17{,}3\) Н, \(F_{тр}=2\sqrt3\approx3{,}46\) Н, \(a\approx3{,}27\) м/с² вниз по плоскости.

Если тело движется вверх по плоскости, и ось направлена вверх, то и сила тяжести, и сила трения направлены вниз. Поэтому их модули складываются: \(ma=mg\sin\alpha+F_{тр}\). При остановке тела вопрос о дальнейшем движении решают отдельно: трение покоя может удержать тело, если составляющая \(mg\sin\alpha\) не превышает максимальную силу трения.

\[mg\sin\alpha\leq\mu mg\cos\alpha\quad\Longleftrightarrow\quad\tan\alpha\leq\mu\]
Алгоритм шешімдер

Нарисуйте тело и силы; выберите оси вдоль и перпендикулярно плоскости; разложите \(mg\); запишите второй закон Ньютона по каждой оси; выразите \(N\); найдите трение; вычислите ускорение и проверьте направление движения.

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · разложение сил
Какая составляющая силы тяжести направлена вдоль наклонной плоскости?
Главное за минуту

Главное

  • Оси выбирают вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей.
  • Сила тяжести раскладывается на \(mg\sin\alpha\) вдоль плоскости и \(mg\cos\alpha\) перпендикулярно ей.
  • На гладкой плоскости \(a=g\sin\alpha\), а \(N=mg\cos\alpha\).
  • При скольжении вниз с трением \(a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\).
  • Трение направлено против движения, а Шешім всегда начинают с рисунка и проекций сил.