Задания № 12, 21 · ОГЭ

Задачи на движение

Как составлять уравнения для встречного движения, движения вдогонку, движения по реке и средней скорости

7 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Задачи на движение решают через связь трёх величин: скорости, времени и расстояния. Главное — правильно определить, какое расстояние изменяется: при встречном движении оно уменьшается, при догонке разность расстояний сокращается, а на реке скорость зависит от направления течения.

Базовая модель движения

Перед решением полезно повторить связь скорости, времени и расстояния. Если тело движется равномерно, его путь равен произведению скорости на время. Все величины должны быть выражены в согласованных единицах: например, километры и часы или метры и секунды.

\[s=vt,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}\]

Скорость сближения

Скорость сближения показывает, на сколько изменяется расстояние между объектами за единицу времени. При движении навстречу друг другу скорости складываются: \(v_{\text{сбл}}=v_1+v_2\). При движении в одном направлении скорость сближения равна разности большей и меньшей скоростей: \(v_{\text{сбл}}=v_1-v_2\) при \(v_1>v_2\). Подробнее — в статье о скорости сближения и удаления.

Правило расстояния между движущимися объектами

Если начальное расстояние равно \(S_0\), а скорость сближения постоянна и равна \(v_{\text{сбл}}\), то через время \(t\) расстояние станет \(S=S_0-v_{\text{сбл}}t\). В момент встречи \(S=0\), поэтому \(t=\frac{S_0}{v_{\text{сбл}}}\).

Встречное движение

При встречном движении два объекта стартуют из разных точек и движутся навстречу. Их общий путь до встречи равен начальному расстоянию между ними. Поэтому сначала находят скорость сближения, затем время до встречи, а после этого — путь каждого объекта.

\[t=\frac{S}{v_1+v_2},\qquad s_1=v_1t,\qquad s_2=v_2t,\qquad s_1+s_2=S\]

Объекты A и B движутся навстречу друг другу.

Если один участник начал движение позже, удобно разделить задачу на два этапа: сначала найти расстояние, которое прошёл первый объект до старта второго, затем использовать оставшееся расстояние и сумму скоростей.

Приём для схемы

Нарисуйте отрезок между начальными пунктами, подпишите на нём \(S\), а под объектами укажите скорости. Это помогает не перепутать сумму скоростей с их разностью. Общий алгоритм решения задач на движение разобран на странице алгоритм решения задач на движение.

Движение вдогонку

При движении вдогонку оба объекта движутся в одном направлении, но один находится впереди. Догоняющий должен иметь большую скорость. Если начальный разрыв равен \(S\), он сокращается со скоростью, равной разности скоростей.

\[t=\frac{S}{v_{\text{догоняющего}}-v_{\text{впереди}}},\qquad v_{\text{догоняющего}}>v_{\text{впереди}}\]

Разрыв

Разрыв — расстояние между объектами, движущимися в одном направлении. При догонке разрыв уменьшается, а после встречи становится равным нулю. Если скорость догоняющего не больше скорости впереди идущего, догнать его невозможно при постоянных скоростях.

Микропроверка

Два велосипедиста находятся на расстоянии 12 км и едут навстречу со скоростями 10 км/ч и 14 км/ч. Какова их скорость сближения?

Разобранный пример: встречное движение

№

Условие

Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 54 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и велосипедист. Скорость автомобиля на 24 км/ч больше скорости велосипедиста. Они встретились через 1,5 часа. Найдите скорости участников.

Обозначим скорость велосипедиста через \(x\) км/ч. Тогда скорость автомобиля равна \(x+24\) км/ч.

\(\displaystyle v_{\text{вел}}=x,\qquad v_{\text{авт}}=x+24\)

При встречном движении сумма пройденных расстояний равна 54 км.

\(\displaystyle 1{,}5x+1{,}5(x+24)=54\)

Раскроем скобки и решим линейное уравнение.

\(\displaystyle 1{,}5x+1{,}5x+36=54\\3x=18\\x=6\)

Найдём скорость автомобиля и проверим общий путь.

\(\displaystyle v_{\text{вел}}=6\ \text{км/ч},\qquad v_{\text{авт}}=30\ \text{км/ч}\\1{,}5\cdot6+1{,}5\cdot30=54\ \text{км}\)

Ответ: скорость велосипедиста — 6 км/ч, скорость автомобиля — 30 км/ч. Можно было начать и со скорости сближения: \(54:1{,}5=36\) км/ч. Тогда система \(v_1+v_2=36\) и \(v_2-v_1=24\) даёт тот же результат.

Движение по реке

У лодки есть собственная скорость — скорость относительно воды. Собственная скорость не зависит от направления движения. Течение реки переносит лодку: поэтому вниз по течению скорости складываются, а вверх по течению из собственной скорости вычитается скорость течения.

\[v_{\text{по течению}}=v_{\text{соб}}+v_{\text{теч}},\qquad v_{\text{против течения}}=v_{\text{соб}}-v_{\text{теч}}\]

Если известны скорости по течению и против течения, собственную скорость и скорость течения находят как полусумму и полуразность:

\[v_{\text{соб}}=\frac{v_{\text{по теч}}+v_{\text{против теч}}}{2},\qquad v_{\text{теч}}=\frac{v_{\text{по теч}}-v_{\text{против теч}}}{2}\]

Частые ошибки в задачах на реку

Не путайте собственную скорость со скоростью движения относительно берега. При движении против течения нельзя складывать скорости. Если в условии дана скорость лодки в стоячей воде, это собственная скорость. Подробные случаи разобраны в статье движение по реке, а свойства потока — в статье о скорости течения.

Средняя скорость

Средняя скорость на всём маршруте — это отношение всего пройденного расстояния ко всему времени движения. Нельзя всегда находить её как среднее арифметическое скоростей: оно подходит только при одинаковых временах движения.

\[v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}=\frac{s_1+s_2+\dots+s_n}{t_1+t_2+\dots+t_n}\]

Если расстояния на двух участках одинаковы и скорости равны \(v_1\) и \(v_2\), то средняя скорость равна гармоническому среднему:

\[v_{\text{ср}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\]

Ошибка со средней скоростью

Для маршрута длиной 60 км со скоростью 30 км/ч и ещё 60 км со скоростью 60 км/ч средняя скорость не равна \((30+60):2\). Времена участков различны, поэтому сначала нужно сложить расстояния и времена.

Как оформить решение

Выпишите известные величины и приведите их к одинаковым единицам.
Определите тип движения: навстречу, в одном направлении или по реке.
Сделайте схему или таблицу: объект, скорость, время, расстояние.
Выберите отношение между скоростями: сумму, разность или формулы движения по реке.
Составьте уравнение, решите его и проверьте смысл ответа.

Ситуация	Скорость сближения или относительная скорость	Условие встречи
Движение навстречу	\(v_1+v_2\)	\(S=(v_1+v_2)t\)
Движение вдогонку	\(v_1-v_2\)	\(S=(v_1-v_2)t\)
Река, вниз по течению	\(v_{\text{соб}}+v_{\text{теч}}\)	\(s=vt\)
Река, вверх по течению	\(v_{\text{соб}}-v_{\text{теч}}\)	\(s=vt\)

Запомните

Встреча означает равенство координат, а не равенство пройденных путей. При одинаковом времени пути относятся как скорости: \(s_1:s_2=v_1:v_2\).

Быстрая проверка

Быстрый тест по теме

Проверьте себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · встречное движение

Два пешехода идут навстречу со скоростями 5 км/ч и 4 км/ч. Расстояние 18 км. Через сколько часов они встретятся?

Главное за минуту

Главное

При движении навстречу скорости складываются, а время встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения.
При движении вдогонку используется разность скоростей; догоняющий должен двигаться быстрее.
На реке вниз по течению скорость увеличивается на скорость течения, а против течения уменьшается на неё.
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время, а не обязательно среднему арифметическому скоростей.
Всегда согласуйте единицы, составьте схему и проверьте, соответствует ли ответ смыслу задачи.