Алгоритм решения задач на движение
Задачи на движение удобно решать по одной схеме: определить известные величины, выбрать неизвестные, выразить расстояние через скорость и время, а затем составить уравнение или систему. Эта страница продолжает тему задач на движение и помогает подготовиться к заданиям ЕГЭ-10, ЕГЭ-11 и ОГЭ-12.
1. Базовая схема решения
В любой задаче на движение встречаются три величины: скорость \(v\), время \(t\) и расстояние \(s\). Сначала выпишите данные в одной системе единиц. Если скорость дана в километрах в час, время должно быть в часах; если расстояние в метрах, скорость и время согласуйте с метрами и секундами.
Скорость показывает, какое расстояние проходит тело за единицу времени. Расстояние равно произведению скорости на время: \(s=vt\).
- Прочитайте условие и определите, какие объекты движутся и что требуется найти.
- Выберите неизвестные величины и обозначьте их буквами.
- Составьте таблицу: объект, скорость, время, расстояние.
- Выразите расстояния по формуле \(s=vt\).
- Используйте условие о сумме или разности расстояний и решите уравнение.
- Проверьте ответ по смыслу и запишите его с единицами измерения.
| Ситуация | Связь расстояний |
|---|---|
| Движение навстречу | Сумма пройденных расстояний равна начальному расстоянию между объектами. |
| Движение вдогонку | Разность пройденных расстояний равна начальному отставанию. |
| Движение по реке | Скорость по течению и против течения выражается через собственную скорость и скорость течения. |
| Участки пути | Общее расстояние и общее время складываются по участкам. |
Если в условии сказано, что два объекта начали движение одновременно и встретились, сначала найдите время движения. Если они движутся с постоянными скоростями, это время одинаково для обоих.
2. Встречное движение
При встречном движении два объекта удалены друг от друга и движутся навстречу. До встречи первый проходит расстояние \(s_1=v_1t\), второй — \(s_2=v_2t\). Их сумма равна начальному расстоянию \(S\).
При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей: \(v_{\text{сбл}}=v_1+v_2\). Время до встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения. Подробное объяснение см. на странице скорости сближения и скорости удаления.
3. Движение вдогонку
При движении вдогонку оба объекта движутся в одном направлении, но один находится впереди. Догоняющий должен иметь большую скорость. Если начальное отставание равно \(S\), то за время \(t\) быстрый объект проходит на \(S\) больше медленного.
Скорость сближения при движении в одном направлении равна разности скоростей: \(v_{\text{сбл}}=v_{\text{быстр}}-v_{\text{медл}}\). Условие догонки и роль начального отставания разобраны на странице условия догоняющего движения.
Автомобиль едет со скоростью \(80\) км/ч, а автобус впереди — со скоростью \(60\) км/ч. Какова скорость сближения?
Не складывайте скорости при догонке. Сумма применяется только при движении навстречу. Также нельзя считать, что встреча произошла через \(S/v_1\) или \(S/v_2\): оба объекта движутся одновременно, поэтому нужно использовать скорость сближения.
4. Движение по реке
Скорость лодки в стоячей воде называют собственной скоростью \(v_с\), а скорость течения — \(v_т\). Течение увеличивает скорость лодки по течению и уменьшает её скорость против течения.
Собственная скорость лодки — скорость её движения в воде без течения. При движении по реке обязательно различайте скорость лодки относительно воды и скорость относительно берега.
Для каждого участка используйте формулу \(t=s/v\). Общее время равно сумме времени на участках. Если требуется средняя скорость на всём маршруте, нельзя просто усреднять скорости: нужно разделить общее расстояние на общее время. Подробнее — в статье о средней скорости на реке.
При движении против течения формула содержит разность \(v_с-v_т\). Если скорость течения больше собственной скорости лодки, движение против течения невозможно в обычной модели задачи.
5. Участки пути и разобранный пример
Если движение состоит из нескольких участков, для каждого участка составьте отдельную строку таблицы. Расстояния складываются, если требуется общий путь; времена складываются всегда, если участки проходят последовательно.
| Участок | Скорость | Время | Расстояние |
|---|---|---|---|
| 1 | \(v_1\) | \(t_1\) | \(v_1t_1\) |
| 2 | \(v_2\) | \(t_2\) | \(v_2t_2\) |
| Весь путь | \(t_1+t_2\) | \(v_1t_1+v_2t_2\) |
Из пунктов A и B, расстояние между которыми \(240\) км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля на \(20\) км/ч больше скорости автобуса. Они встретились через \(2\) часа. Найдите скорости.
Скорость автобуса — \(50\) км/ч, автомобиля — \(70\) км/ч. Проверка: за два часа они прошли \(2\cdot50+2\cdot70=100+140=240\) км, то есть встретились в нужной точке.
В задачах на путь с изменением скорости сначала находите расстояние или время каждого участка, а затем соединяйте результаты условием задачи. Если неизвестна средняя скорость, используйте формулу \(v_{\text{ср}}=S_{\text{общ}}/t_{\text{общ}}\), а не среднее арифметическое скоростей.
Быстрая проверка
Проверьте понимание
Главное
- Всегда начинайте с формулы \(s=vt\) и согласуйте единицы измерения.
- При встрече используйте сумму скоростей, а при догонке — разность скоростей.
- Для реки применяйте формулы \(v_с+v_т\) по течению и \(v_с-v_т\) против течения.
- На последовательных участках складывайте времена; общее расстояние складывайте только для всего пройденного пути.
- После решения делайте проверку: подставьте найденные значения в условие и оцените, реалистичен ли ответ.