Задание № 12 · ОГЭ

Средняя скорость на реке

Как находить среднюю скорость лодки при движении по течению и против течения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Средняя скорость лодки на реке — это отношение всего пройденного расстояния ко всему времени движения. При движении по течению лодка ускоряется, а против течения замедляется, поэтому среднюю скорость нельзя находить простым сложением или обычным средним арифметическим скоростей.

Средняя скорость лодки при движении по течению и против течения равна частному от деления общего расстояния на общее время движения: \(v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}\). Для вычисления используют собственную скорость лодки и скорость течения.

Формулы

Пусть \(c\) — собственная скорость лодки, а \(w\) — скорость течения. Тогда скорости лодки равны: по течению \(c+w\), против течения \(c-w\). Эти правила рассматриваются в теме движение по реке.

\[v_{\text{по течению}}=c+w,\qquad v_{\text{против течения}}=c-w\]

Если лодка проходит одинаковые расстояния \(S\) по течению и против течения, то общее расстояние равно \(2S\), а общее время — \(\frac{S}{c+w}+\frac{S}{c-w}\). Поэтому средняя скорость вычисляется так:

\[v_{\text{ср}}=\frac{2(c+w)(c-w)}{(c+w)+(c-w)}=\frac{c^2-w^2}{c}\]

Если расстояния различны, используют общий алгоритм: отдельно находят каждое время по формуле \(t=\frac{S}{v}\), складывают расстояния и времена, затем делят общее расстояние на общее время.

№

Пример

Собственная скорость лодки — \(12\) км/ч, скорость течения — \(2\) км/ч. Лодка прошла по течению \(28\) км и столько же против течения. Скорости равны \(14\) и \(10\) км/ч. Время движения: \(28:14=2\) ч и \(28:10=2{,}8\) ч. Тогда \(v_{\text{ср}}=\frac{56}{4{,}8}=\frac{35}{3}\approx11{,}7\) км/ч.

Не путайте

Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей \(\frac{(c+w)+(c-w)}{2}=c\), если времена движения различны. При равных расстояниях по течению и против течения времена различны, поэтому нужно учитывать их сумму.

Проверь себя

Собственная скорость лодки \(10\) км/ч, скорость течения \(2\) км/ч. Какова средняя скорость на равных расстояниях по течению и против течения?

Главное за минуту

Главное

Средняя скорость равна общему расстоянию, делённому на общее время.
По течению скорость равна \(c+w\), против течения — \(c-w\).
Для равных расстояний средняя скорость равна \(\frac{c^2-w^2}{c}\) и обычно меньше собственной скорости лодки.