ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 13, 17 · ЕГЭ

Уравнение с двумя модулями

Как раскрывать два модуля, разбивать решение на случаи и проверять корни
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение с двумя модулями содержит две записи вида \(|f(x)|\) и обычно решается разбиением числовой прямой на промежутки. Главное — правильно найти точки смены знака, раскрыть модули на каждом промежутке и проверить найденные корни.

Что нужно знать перед решением

Модуль числа — это его расстояние от нуля на координатной прямой. Поэтому модуль всегда неотрицателен: \(|a|\ge 0\). Раскрытие модуля основано на знаке выражения внутри него. Подробный общий алгоритм приведён на странице раскрытия модуля, а правила преобразований — на странице о равносильных уравнениях.

D
Определение

Для любого выражения \(f(x)\) справедливо: \(|f(x)|=f(x)\), если \(f(x)\ge0\), и \(|f(x)|=-f(x)\), если \(f(x)<0\). Точки, в которых \(f(x)=0\), называют точками смены знака.

\[|f(x)|=\begin{cases}f(x),&f(x)\ge 0,\\-f(x),&f(x)<0.\end{cases}\]
T
Свойства, полезные в уравнениях

\(|a|=|{-a}|\); \(|a|^2=a^2\); \(|a|=b\) при \(b\ge0\) равносильно двум случаям \(a=b\) или \(a=-b\). Если \(b<0\), уравнение \(|a|=b\) решений не имеет.

В уравнении с двумя модулями встречаются, например, формы \(|f(x)|+|g(x)|=h(x)\), \(|f(x)|-|g(x)|=h(x)\) или \(|f(x)|=|g(x)|\). Нельзя раскрывать модуль «по внешнему виду» выражения: сначала исследуют знак всего выражения внутри модуля.

Метод промежутков

Это универсальный способ для линейных и многих квадратных выражений под модулями. Сначала решают уравнения \(f(x)=0\) и \(g(x)=0\). Полученные точки отмечают на числовой прямой. Они разбивают её на промежутки, внутри каждого из которых знаки \(f(x)\) и \(g(x)\) постоянны.

  1. Перенесите все выражения под модулями в левую или правую часть так, чтобы было понятно, какие функции исследуются.
  2. Найдите нули всех выражений под модулями.
  3. Расположите точки на числовой прямой и определите знаки на каждом промежутке.
  4. Раскройте оба модуля с нужными знаками.
  5. Решите полученные уравнения и оставьте только корни из рассматриваемого промежутка.
  6. Проверьте все кандидаты в исходном уравнении.
Как быстрее определить знаки

Для линейного выражения \(ax+b\) достаточно знать его знак по одну сторону корня: при \(a>0\) знак меняется с «минуса» на «плюс», при \(a<0\) — с «плюса» на «минус». Для произведения знаки множителей перемножаются.

ПромежутокЗнак \(f(x)\)Знак \(g(x)\)Раскрытие
\(x<\alpha\)\(-\)\(+\)\(|f|=-f\), \(|g|=g\)
\(\alpha<x<\beta\)\(+\)\(+\)\(|f|=f\), \(|g|=g\)
\(x>\beta\)\(+\)\(-\)\(|f|=f\), \(|g|=-g\)
Проверь себя

Какие точки нужно отметить перед раскрытием \(|2x-6|+|x+1|=5\)?

Разбор задания методом промежутков

№
Пример

Решим уравнение \(|2x-6|+|x+1|=5\). Нужно найти точки смены знака и рассмотреть все промежутки.

1
Находим нули выражений под модулями: \(2x-6=0\) и \(x+1=0\).
\(\displaystyle x=3,\qquad x=-1\)
2
Отмечаем точки в порядке возрастания: \(-1\) и \(3\). Получаем промежутки \((-\infty,-1)\), \([-1,3]\), \((3,+\infty)\).
\(\displaystyle (-\infty,-1),\quad [-1,3],\quad (3,+\infty)\)
3
Если \(x<-1\), оба выражения отрицательны.
\(\displaystyle -(2x-6)-(x+1)=5\Longrightarrow -3x+5=5\Longrightarrow x=0\)
4
Корень \(x=0\) не принадлежит промежутку \(x<-1\), поэтому отбрасываем его.
\(\displaystyle 0\notin(-\infty,-1)\)
5
Если \(-1\le x\le3\), первое выражение отрицательно, второе неотрицательно.
\(\displaystyle -(2x-6)+(x+1)=5\Longrightarrow -x+7=5\Longrightarrow x=2\)
6
Корень \(x=2\) подходит рассматриваемому промежутку.
\(\displaystyle 2\in[-1,3]\)
7
Если \(x>3\), оба выражения неотрицательны.
\(\displaystyle (2x-6)+(x+1)=5\Longrightarrow 3x-5=5\Longrightarrow x=\frac{10}{3}\)
8
Корень \(x=\frac{10}{3}\) принадлежит последнему промежутку.
\(\displaystyle \frac{10}{3}>3\)

Остаётся проверить оба кандидата в исходном уравнении: при \(x=2\) получаем \(|{-2}|+|3|=2+3=5\); при \(x=\frac{10}{3}\) получаем \(|\frac{2}{3}|+|\frac{13}{3}|=5\). Ответ: \(x=2\) и \(x=\frac{10}{3}\).

−5−4−3−2−112345−22468101214xy0y = abs(2·x − 6) + abs(x + 1) − 5
График функции \(y=|2x-6|+|x+1|-5\): корни графика соответствуют решениям уравнения.

Другие способы раскрытия двух модулей

Иногда метод промежутков не самый короткий. Выбор способа зависит от структуры уравнения.

  • Если модули стоят по разные стороны равенства, используйте правило \(|f(x)|=|g(x)|\) и заменяйте его двумя уравнениями: \(f(x)=g(x)\) или \(f(x)=-g(x)\).
  • Если один модуль равен неотрицательному выражению, применяйте возведение в квадрат, но после этого обязательно проверяйте корни.
  • Если справа стоит отрицательное число, уравнение вида \(|f(x)|=h(x)\) можно исследовать по условию \(h(x)\ge0\).
  • Если под модулем квадрат, используйте \(|f(x)^2|=f(x)^2\), поскольку квадрат неотрицателен.
\[|f(x)|=|g(x)|\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\quad\text{или}\quad f(x)=-g(x).\]
№
Короткий пример

Уравнение \(|x-4|=|2x+1|\) распадается на два линейных: \(x-4=2x+1\) или \(x-4=-(2x+1)\). Отсюда \(x=-5\) или \(x=1\). Оба значения нужно подставить в исходное уравнение.

При сложных выражениях полезно ввести замену, например \(t=|x-1|\). Но замена должна учитывать ограничение \(t\ge0\). Если после решения получено отрицательное значение \(t\), оно не даёт решений по \(x\).

Проверка и частые ошибки

Проверка особенно важна на границах промежутков и после возведения в квадрат. Подстановка выполняется в исходное уравнение, а не только в преобразованное.

!
Частые ошибки

1. Раскрывают \(|f(x)|\) как \(f(x)\) без проверки знака \(f(x)\). 2. Забывают рассмотреть промежуток или точку смены знака. 3. Оставляют корень, найденный на другом промежутке. 4. При возведении в квадрат получают посторонние корни и не проверяют их. 5. Пишут \(|a+b|=|a|+|b|\): это неверно в общем случае.

Алгоритм на экзамене

Нули подмодульных выражений → числовая прямая → знаки → раскрытие → решение на своём промежутке → проверка в исходном уравнении.

Как оформить ответ

В черновике удобно составить таблицу знаков, а в записи решения явно указать ограничения промежутка. В конце перечислите корни в порядке возрастания. Если решений нет, напишите \(∅\) или «решений нет» — в зависимости от формата ответа.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · точки смены знака
Какие точки смены знака у выражений \(|x-2|+|3x+6|\)?
Главное за минуту

Главное

  • Для двух модулей сначала находят нули всех выражений под модулями.
  • На каждом промежутке знаки постоянны, поэтому модули раскрываются однозначно.
  • Равенство \(|f(x)|=|g(x)|\) заменяют двумя уравнениями: \(f=g\) и \(f=-g\).
  • Корни проверяют в исходном уравнении, особенно после возведения в квадрат.
  • Надёжный порядок: точки смены знака, знаки, раскрытие, решение, проверка.