ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задание № 9 · ОГЭ

Уравнение с дробями

Алгоритм решения рациональных уравнений: ОДЗ, преобразование и проверка корней
5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение с дробями содержит неизвестное в числителе или знаменателе дроби. Чтобы решить такое уравнение без потери или добавления корней, сначала находят ОДЗ, затем избавляются от знаменателей, решают полученное уравнение и обязательно проверяют найденные значения.

Что нужно знать перед решением

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором используются рациональные выражения, то есть суммы, разности, произведения и частные многочленов. Например, \(\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}\) и \(\frac{x^2-4}{x}=5\) — рациональные уравнения.

D
ОДЗ уравнения

Область определения уравнения — множество значений переменной, при которых имеют смысл все выражения в уравнении. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

\[\text{Если }\frac{A(x)}{B(x)}\text{ встречается в уравнении, то }B(x)\ne 0.\]

Например, для уравнения \(\frac{5}{x-3}=2\) ОДЗ задаётся условием \(x-3\ne0\), то есть \(x\ne3\). Значение \(x=3\) нельзя считать корнем, даже если оно появится после преобразований.

T
Равносильные преобразования

При решении важно сохранять множество корней. Равносильные уравнения имеют одни и те же корни. Умножение обеих частей на выражение допустимо без потери корней, если это выражение не равно нулю на ОДЗ.

Алгоритм решения уравнения с дробями

  1. Перенесите все дроби и выражения в запись, удобную для анализа.
  2. Найдите ОДЗ: приравняйте каждый знаменатель к нулю и исключите полученные значения.
  3. Разложите знаменатели на множители, если это возможно.
  4. Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель. Важно: равенство рассматривается только на ОДЗ.
  5. Раскройте скобки, приведите подобные слагаемые и решите полученное уравнение.
  6. Проверьте найденные значения по исходному уравнению и исключите значения, нарушающие ОДЗ.
\[\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)},\quad B(x)\ne0,\ D(x)\ne0\quad\Longrightarrow\quad A(x)D(x)=B(x)C(x).\]

Если в уравнении несколько знаменателей, общий знаменатель должен быть кратен каждому из них. Например, для знаменателей \(x-2\) и \(x+3\) удобно взять \((x-2)(x+3)\).

Как не потерять корни

Нельзя сокращать дробь через выражение, которое может быть равно нулю, без записи ОДЗ. Например, в дроби \(\frac{x(x-1)}{x}\) сокращение до \(x-1\) допустимо только при условии \(x\ne0\). Значение \(x=0\) должно остаться исключённым.

Разобранный пример

№
Решим уравнение

Рассмотрим уравнение \(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{10}{x^2-1}\). Оно соответствует уровню заданий, где необходимо применить ОДЗ и привести дроби к общему знаменателю.

1
Находим значения, при которых знаменатели обращаются в ноль.
\(\displaystyle x-1\ne0,\quad x+1\ne0,\quad x^2-1=(x-1)(x+1)\ne0\)
2
Записываем ОДЗ.
\(\displaystyle x\ne1,\quad x\ne-1\)
3
Умножаем обе части на общий знаменатель \((x-1)(x+1)\). Это допустимо на ОДЗ.
2(x+1)+3(x-1)=10
4
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
\(\displaystyle 2x+2+3x-3=10\quad\Longrightarrow\quad5x-1=10\)
5
Решаем линейное уравнение.
\(\displaystyle 5x=11\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{11}{5}\)
6
Сверяем корень с ОДЗ: \(\frac{11}{5}\ne1\) и \(\frac{11}{5}\ne-1\).
\(\displaystyle x=\frac{11}{5}\)

Проверка в исходном уравнении подтверждает результат: при \(x=\frac{11}{5}\) все знаменатели ненулевые, а левая и правая части имеют одинаковое значение. Следовательно, единственный корень — \(\frac{11}{5}\).

Проверь себя

Какое значение нужно исключить из ОДЗ уравнения \(\frac{x+2}{x-4}=3\)?

Особые случаи и проверка

Иногда после умножения на общий знаменатель получается квадратное уравнение. Тогда применяют формулу дискриминанта или алгебраические методы решения уравнений. Все найденные корни затем сравнивают с ОДЗ.

\[ax^2+bx+c=0,\quad D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\]

Бывает и так, что после преобразований получается тождество, например \(0=0\). Тогда корнями являются все значения из ОДЗ. Если получается неверное равенство, например \(0=5\), корней нет.

T
Почему нужна проверка

Умножение на общий знаменатель выполняется только при условии, что этот знаменатель не равен нулю. Поэтому найденное после преобразований значение может не входить в ОДЗ. Проверка по исходному уравнению отбрасывает такой посторонний корень.

−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−112345xy0y = 1/x
График функции \(y=\frac{1}{x}\): точка \(x=0\) не входит в область определения.

Частые ошибки

!
Ошибки, которые встречаются чаще всего

1. Не записана ОДЗ. Тогда в ответ может попасть значение, обращающее знаменатель в ноль. 2. Неправильно разложен знаменатель: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), а не \((x-1)^2\). 3. При умножении на общий знаменатель забывают умножить на него каждый член обеих частей. 4. После нахождения корней не выполнена проверка. 5. Дробь сокращают на выражение, которое может быть нулём, и теряют ограничения.

Короткая памятка

ОДЗ → общий знаменатель → преобразование → решение → проверка. Записывайте ОДЗ до умножения на знаменатель: так легче контролировать допустимые значения.

Как оформить ответ на экзамене

В развёрнутом решении достаточно показать ОДЗ, умножение на общий знаменатель, основные преобразования и проверку корней. В кратком ответе указывают только найденное число или список корней, но внутренне алгоритм остаётся тем же.

ШагЧто записатьПример
ОДЗЗнаменатели не равны нулю\(x\ne2\)
Общий знаменательМножитель, кратный всем знаменателям\(x-2\)
ПреобразованиеУмножение обеих частей\(A(x)=B(x)\)
ПроверкаСравнение с ОДЗ и исходным уравнением\(x=5\) допустим
Q
Быстрый тест по теме

Быстрый тест

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · ОДЗ
Какое значение исключается из ОДЗ уравнения \(\frac{1}{x+6}=2\)?
Главное за минуту

Главное

  • ОДЗ находят до любых преобразований: каждый знаменатель должен быть ненулевым.
  • Чтобы убрать дроби, умножают обе части уравнения на общий знаменатель.
  • После преобразований решают полученное уравнение обычными методами.
  • Все найденные значения проверяют по ОДЗ и, при необходимости, подставляют в исходное уравнение.
  • Главная схема: ОДЗ → общий знаменатель → решение → проверка.