Тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение содержит неизвестное под знаком тригонометрической функции: например, \(\sin x=\frac12\) или \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\). Чтобы уверенно выполнять задания ege-13 и ege-18, важно знать основные формулы, учитывать периодичность функций и проверять область допустимых значений.
1. Основные понятия и общий алгоритм
Тригонометрическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент тригонометрической функции или выражение, полученное из таких функций. Корнем уравнения называют значение \(x\), при котором выражение имеет смысл и равенство становится верным.
Если \(x_0\) — корень уравнения с периодом \(T\), то все числа \(x=x_0+kT\), где \(k\in\mathbb Z\), также являются корнями. Для синуса и косинуса основной период равен \(2\pi\), для тангенса и котангенса — \(\pi\).
- Упростите уравнение: раскройте формулы двойного угла, приведите подобные слагаемые, вынесите общий множитель.
- Выберите способ решения: основное уравнение, разложение на множители, замена переменной, сведение к квадратному или однородному уравнению.
- Запишите общий ответ с учётом периода функции.
- Проверьте ограничения: нельзя делить на выражение, которое может быть равно нулю, а тангенс и котангенс существуют не при всех \(x\).
Перед решением полезно повторить преобразование уравнений: равносильные преобразования сохраняют множество корней, а неравносильные требуют дополнительной проверки.
2. Основные тригонометрические уравнения
К базовым относятся уравнения вида \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tan x=a\) и \(\cot x=a\). Сначала нужно проверить, может ли правая часть принимать нужное значение: синус и косинус лежат на отрезке \([-1;1]\), а тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения.
Наизусть полезно помнить таблицу значений для углов \(0\), \(\frac\pi6\), \(\frac\pi4\), \(\frac\pi3\), \(\frac\pi2\) и соответствующих углов в других четвертях. Знаки синуса, косинуса и тангенса определяйте по четверти, а не по памяти о каждом отдельном угле.
| Уравнение | Общий ответ |
|---|---|
| \(\sin x=0\) | \(x=\pi n\) |
| \(\cos x=0\) | \(x=\frac\pi2+\pi n\) |
| \(\sin x=1\) | \(x=\frac\pi2+2\pi n\) |
| \(\cos x=1\) | \(x=2\pi n\) |
| \(\tan x=0\) | \(x=\pi n\) |
Каков общий вид решений уравнения \(\cos x=-\frac12\)?
3. Преобразование сложных уравнений
Если в уравнении встречаются разные степени одной функции, замените её новой переменной. Например, при \(\cos^2x\) и \(\cos x\) положите \(t=\cos x\), а затем решите квадратное уравнение относительно \(t\). После этого вернитесь к \(x\) и решите полученные основные уравнения.
Уравнение вида \(a\sin x+b\cos x=0\) часто решают делением на \(\cos x\), если отдельно проверено, что \(\cos x\ne0\), или сведением к однородному тригонометрическому уравнению. Если присутствуют дроби, сначала найдите значения \(x\), при которых знаменатели обращаются в ноль.
Если после замены \(t=f(x)\) получено уравнение для \(t\), нужно учитывать ограничения на замену. Например, при \(t=\cos x\) обязательно \(-1\le t\le1\). Корни, не удовлетворяющие этому условию, отбрасываются.
4. Разобранный пример
Решим уравнение \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\) на отрезке \([0;2\pi]\).
Ответ можно записать по возрастанию: \(0\), \(\frac\pi3\), \(\frac{5\pi}3\), \(2\pi\). Если требуется общий ответ, то для первой ветви \(x=\pm\frac\pi3+2\pi n\), а для второй \(x=2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\).
5. Проверка, ограничения и типичные ошибки
Промежуток в условии меняет вид ответа: общий ответ содержит целое число \(n\), а ответ на отрезке требует перечислить только подходящие значения. При необходимости переводите радианы в знакомые углы и проверяйте каждое найденное число подстановкой.
1. Забывают период: из \(\sin x=a\) нельзя записывать только один угол. 2. Путают периоды: у синуса и косинуса период \(2\pi\), у тангенса — \(\pi\). 3. При замене \(t=\cos x\) принимают недопустимый корень \(t>1\) или \(t<-1\). 4. Делят на \(\sin x\) или \(\cos x\) и теряют случай, когда делитель равен нулю. 5. При решении на отрезке не учитывают оба конца, если они входят в отрезок.
Перед делением на выражение выпишите отдельный случай, когда оно равно нулю. После возведения в квадрат или умножения на переменное выражение выполните проверку: такие преобразования могут породить посторонний корень.
Если в задаче несколько уравнений связаны общими неизвестными, это уже система тригонометрических уравнений. Не смешивайте её алгоритм с решением одного уравнения. Уравнения с неизвестным параметром требуют отдельного анализа — см. уравнения с параметрами.
Quick-test
Проверьте себя
Главное
- Базовые уравнения решают по формулам с обязательным учётом периода.
- Для квадратных выражений одной тригонометрической функции используют замену переменной и проверяют диапазон новой переменной.
- Формулы \(\sin^2x+\cos^2x=1\), двойного угла и разложения на множители помогают упростить уравнение.
- При делении, возведении в квадрат и работе с дробями контролируют равносильность и проверяют корни.
- На заданном отрезке нужно перечислить только корни, попадающие в этот отрезок.