Основные тригонометрические уравнения
Основные тригонометрические уравнения — это уравнения вида \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\tg x=a\) и \(\ctg x=a\). Их решения записывают с учётом периодичности тригонометрических функций.
Для уравнений с синусом и косинусом решение существует только при \(-1\le a\le 1\), поскольку значения этих функций не выходят за пределы отрезка \([-1;1]\). Тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения, но нужно учитывать их области определения.
Основные формулы
Здесь \(n\in\mathbb{Z}\) означает, что к найденному углу можно прибавлять любое целое число периодов. Для синуса и косинуса период равен \(2\pi\), а для тангенса и котангенса — \(\pi\). При решении более сложных тригонометрических уравнений сначала приводят выражение к одному из этих видов.
Решим уравнение \(\cos x=\frac{1}{2}\). Так как \(\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\), получаем \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\). В промежутке \([0;2\pi]\) это корни \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{5\pi}{3}\).
Формулы для тангенса и котангенса имеют период \(\pi\), а не \(2\pi\). Кроме того, нельзя делить уравнение на выражение, которое может быть равно нулю: так можно потерять корни. Например, при преобразованиях полезно помнить об ограничениях, связанных с однородными тригонометрическими уравнениями.
Каков общий вид решений уравнения \(\tg x=1\)?
Главное
- Для \(\sin x=a\) и \(\cos x=a\) необходимо \(a\in[-1;1]\).
- Период синуса и косинуса равен \(2\pi\), а период тангенса и котангенса — \(\pi\).
- Общее решение обязательно содержит \(n\in\mathbb{Z}\), если не задан конкретный промежуток для поиска корней.