Тригонометрические неравенства на окружности
Тригонометрическое неравенство сравнивает значение синуса или косинуса с числом, например \(\sin x\ge\frac12\) немесе \(\cos x<0\). Основной способ решения — отметить на единичной окружности точки, где функция принимает нужные значения, выбрать подходящие дуги и записать общий ответ с учётом периодичности.
Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом \(1\). Точка, соответствующая углу \(x\), имеет координаты \((\cos x,\sin x)\): косинус — абсцисса точки, синус — ордината. Угол отсчитывают от положительного направления оси \(Ox\) против часовой стрелки; отрицательные углы откладывают по часовой стрелке.
Базовые значения и периодичность
Для решения неравенств нужно уверенно находить углы, соответствующие известным значениям. Обычно используют первую четверть, а затем учитывают знаки функций в остальных четвертях.
| Угол | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
Синус и косинус повторяют значения через полный оборот: \(2\pi\). Поэтому если найдено Шешім на одном отрезке длины \(2\pi\), общий ответ получают добавлением \(2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\).
В I четверти синус и косинус положительны. Во II синус положителен, косинус отрицателен. В III обе функции отрицательны. В IV косинус положителен, синус отрицателен.
Алгоритм шешімдер на окружности
Пусть требуется решить неравенство вида \(\sin x\ge a\) немесе \(\cos x<a\), где \(-1\le a\le1\). Действуйте последовательно.
- Найдите граничные углы, решив соответствующее равенство: \(\sin x=a\) немесе \(\cos x=a\).
- Отметьте на окружности точки с нужной ординатой для синуса или абсциссой для косинуса.
- Выберите дугу, где координата удовлетворяет знаку неравенства. При знаках \(\ge\) и \(\le\) граничные точки кіреді, при \(>\) и \(<\) — не кіреді.
- Запишите ответ на отрезке, например \([0;2\pi]\), а затем добавьте \(2\pi n\).
Для синуса смотрите на высоту точки: сравнивайте ординату с горизонтальной линией \(y=a\). Для косинуса смотрите на лево–право: сравнивайте абсциссу с вертикальной линией \(x=a\).
Какая часть окружности соответствует неравенству \(\cos x<0\)?
Неравенства с синусом
Для \(\sin x=a\) удобно обозначить негізгі угол \(\alpha=\arcsin a\), если он известен. На окружности ордината равна \(a\) в двух симметричных точках. Для положительного \(a\) в пределах \([0;2\pi]\) это обычно \(\alpha\) и \(\pi-\alpha\).
Если \(\sin x\ge a\) и \(0<a<1\), берётся дуга между двумя найденными углами в верхней части окружности. Если \(\sin x\le a\), берутся остальные дуги, включая точки равенства. При \(a=1\) Шешім \(\sin x\ge1\) состоит только из точек максимума, а при \(a>1\) шешімдер нет.
Неравенства с косинусом
Для \(\cos x=a\) точки имеют одинаковую абсциссу и расположены симметрично относительно оси \(Ox\). Если \(\alpha=\arccos a\), то на одном периоде граничные углы — \(\alpha\) и \(2\pi-\alpha\).
При \(\cos x\ge a\) выбирают правую дугу, где абсциссы не меньше \(a\). При \(\cos x\le a\) выбирают левую дугу, где абсциссы не больше \(a\). Неравенство \(\cos x<0\) особенно просто: косинус отрицателен во II и III четвертях.
Разобранный пример
Найдём все значения \(x\), при которых ордината точки единичной окружности не меньше \(\frac{\sqrt3}{2}\).
Если в ответе требуется промежуток только на \([0;2\pi]\), достаточно записать \(\left[\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right]\). Для строгого неравенства \(\sin x>\frac{\sqrt3}{2}\) скобки у концов были бы круглыми.
1. Забывают вторую точку с тем же значением синуса. Например, для \(\sin x=\frac12\) это не только \(\frac\pi6\), но и \(\frac{5\pi}6\).<br>2. Путают координаты: синус — вертикальная координата, косинус — горизонтальная.<br>3. Неверно выбирают включение концов: \(\ge\) и \(\le\) дают квадратные скобки, \(>\) и \(<\) — круглые.<br>4. Записывают только один период и забывают \(+2\pi n\).<br>5. Используют формулу для синуса при косинусе без проверки четверти и знака.
Особые случаи и преобразования
Если правая часть равна \(1\), \(-1\), \(0\) или выходит за пределы отрезка \([-1;1]\), Шешім часто можно получить сразу. Например, \(\sin x>1\) и \(\cos x<-1\) шешімдер не имеют, потому что значения синуса и косинуса всегда лежат от \(-1\) до \(1\).
| Неравенство | Шешім |
|---|---|
| \(\sin x\ge1\) | \(x=\frac\pi2+2\pi n\) |
| \(\sin x<-1\) | Нет шешімдер |
| \(\cos x\le-1\) | \(x=\pi+2\pi n\) |
| \(\cos x>1\) | Нет шешімдер |
| \(\sin x\ge0\) | \(x\in[2\pi n;\pi+2\pi n]\) |
Иногда неравенство сначала преобразуют к базовому виду. Например, в выражении \(\sin(x-\frac\pi4)\le\frac12\) новой переменной считать не нужно: решают обычное неравенство относительно аргумента \(x-\frac\pi4\), а затем прибавляют \(\frac\pi4\) к границам. При более сложных преобразованиях полезно повторить материал о тригонометрических неравенствах.
Окружность особенно удобна для точных значений и периодических функций. Если выражение содержит несколько функций, квадрат, модуль или замену переменной, могут понадобиться Шешім неравенств по графику, модуль и неравенства немесе графический метод для неравенств второй степени.
Быстрая проверка
Главное
- На единичной окружности \(\cos x\) — абсцисса, а \(\sin x\) — ордината точки.
- Сначала решают соответствующее равенство и отмечают граничные точки.
- Для синуса выбирают дуги по высоте, для косинуса — по положению слева или справа.
- Знаки \(\ge,\le\) включают границы; знаки \(>,<\) исключают их.
- Общий ответ получают добавлением \(2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\).