Тапсырмалар № 8, 9 · ЕГЭ

Производные тригонометрических функций

Формулы производных синуса, косинуса, тангенса и котангенса

3 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Производные тригонометрических функций показывают скорость изменения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Главные формулы нужно применять вместе с определением производной и правилами дифференцирования сложных выражений.

Это формулы, задающие производные основных тригонометрических функций по аргументу, измеряемому в радианах: \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\) и \((\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}\).

Основные формулы

Производные синуса и косинуса существуют при всех действительных \(x\). Производная тангенса определена там, где \(\cos x\ne0\), а производная котангенса — там, где \(\sin x\ne0\). Эти формулы кіреді в таблицу производных элементарных функций.

\[\begin{aligned} (\sin x)'&=\cos x,\\ (\cos x)'&=-\sin x,\\ (\tan x)'&=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x,\\ (\cot x)'&=-\frac{1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x). \end{aligned}\]1

Если аргумент функции не просто \(x\), а, например, \(u(x)\), используется правило производной сложной функции: внешнюю производную умножают на производную внутреннего аргумента.

№

Пример

Найдём производную функции \(y=\sin(3x)\). Внешняя функция — синус, её производная равна \(\cos(3x)\); внутренняя функция \(3x\) имеет производную \(3\). Поэтому \(y'=3\cos(3x)\).

Не перепутайте

Производная косинуса содержит знак минус: \((\cos x)'=-\sin x\). Кроме того, приведённые формулы верны при измерении углов в радианах. При работе с градусами появляется дополнительный множитель, поэтому в производных обычно используют радианную меру.

Проверьте себя

Чему равна производная функции \(y=\cot x\)?

Главное за минуту

Главное

\((\sin x)'=\cos x\), а \((\cos x)'=-\sin x\).
\((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\) и \((\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}\).
Для аргумента \(u(x)\) применяйте правило цепочки и умножайте результат на \(u'(x)\).