Длина медианы треугольника
Длина медианы треугольника — это расстояние от вершины до середины противоположной стороны. Если известны три стороны треугольника, медиану находят по формуле, выведенной из теоремы косинусов.
Для обозначений используем стандартную запись: сторона \(a\) лежит напротив вершины \(A\), сторона \(b\) — напротив вершины \(B\), сторона \(c\) — напротив вершины \(C\). Медиану, проведённую из вершины \(A\), обозначают \(m_a\). Перед применением формулы полезно повторить способы решения треугольников.
Формула длины медианы
Аналогично записываются формулы для медиан из других вершин: нужно заменить буквы циклически. Важно, что под корнем стоят квадраты двух сторон, прилегающих к вершине, и вычитается квадрат противоположной стороны. Подробное понятие формулы длины медианы треугольника рассматривает этот результат отдельно.
Пусть \(a=6\), \(b=5\), \(c=7\). Тогда медиана к стороне \(a\) равна \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot7^2-6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{112}=2\sqrt{7}\). Значит, её длина примерно равна \(5{,}29\).
Медиана делит противоположную сторону пополам, но не обязана быть перпендикулярной ей и не всегда делит угол пополам. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой.
Какую сторону нужно вычесть в формуле для \(m_b\)?
Главное
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
- Формула: \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\); аналогично находятся \(m_b\) и \(m_c\).
- При подстановке внимательно определяйте сторону, к которой проведена медиана.