Тапсырмалар № 3, 4 · ОГЭ

Условия существования треугольника

Как проверить, могут ли три отрезка быть сторонами треугольника

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Три заданных отрезка могут быть сторонами треугольника тогда и только тогда, когда сумма длин любых двух из них больше длины третьего. Достаточно проверить это условие для двух меньших отрезков и самого длинного.

Для положительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) они являются длинами сторон некоторого треугольника тогда и только тогда, когда выполняются три неравенства: \(a+b>c\), \(a+c>b\) и \(b+c>a\). Эти условия называют неравенствами треугольника.

Формула проверки

\[a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a\]

На практике удобно упорядочить длины: \(a\le b\le c\). Тогда достаточно проверить только одно неравенство: \(a+b>c\). Если оно выполнено, два остальных выполняются автоматически, потому что все длины положительны.

№

Пример

Проверим отрезки длиной \(4\) см, \(6\) см и \(9\) см. Наибольшая длина — \(9\) см. Сравним сумму двух меньших с ней: \(4+6=10>9\). Значит, из этих отрезков можно построить треугольник. В видах треугольников такой треугольник будет разносторонним.

Не путайте с равенством

Если сумма двух отрезков равна третьему, например \(3+5=8\), треугольник не получится: отрезки расположатся на одной прямой. Если сумма меньше третьего, например \(3+4<8\), замкнутая фигура также невозможна. Поэтому требуется именно знак \(>\), а не \(\ge\).

Проверь себя

Можно ли построить треугольник со сторонами \(5\) см, \(7\) см и \(12\) см?

Главное за минуту

Главное

Три отрезка образуют треугольник тогда и только тогда, когда сумма любых двух больше третьего.
После упорядочивания длин достаточно проверить: сумма двух меньших больше наибольшей.
Равенство означает вырожденный случай, поэтому знак в условии — строгий: \(>\) .