Построение треугольника по трем сторонам

Треугольник по трём заданным сторонам строят с помощью циркуля и линейки: сначала откладывают одну сторону, затем проводят две окружности. Построение возможно не всегда — длины должны удовлетворять неравенству треугольника.

Условия существования треугольника

Пусть заданы три отрезка с длинами \(a\), \(b\) и \(c\). Они могут быть сторонами треугольника только тогда, когда сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. Достаточно проверить самое сильное из этих условий: сумма двух меньших сторон должна быть больше большей стороны.

Если, например, \(a\le b\le c\), то достаточно проверить только формулу \(a+b>c\). Если \(a+b=c\), отрезки можно расположить на одной прямой, но треугольник получится вырожденным: его площадь равна нулю. Если \(a+b<c\), два коротких отрезка не смогут соединить концы длинного.

После проверки условия полезно определить вид треугольника по сторонам: если две стороны равны, он равнобедренный; если все три равны — равносторонний; если все стороны различны — разносторонний. Это не меняет алгоритм построения.

Алгоритм построения

Пусть нужно построить треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB=c\), \(AC=b\) и \(BC=a\). Обозначения можно выбрать иначе, но важно заранее связать каждую длину с конкретной стороной.

1. Проверьте условие существования: сумма двух меньших длин должна быть больше третьей.
2. С помощью построения отрезка заданной длины постройте отрезок \(AB=c\).
3. Разведите циркуль на длину \(b\) и проведите окружность с центром \(A\) и радиусом \(b\).
4. Разведите циркуль на длину \(a\) и проведите окружность с центром \(B\) и радиусом \(a\).
5. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой \(C\).
6. Соедините \(C\) с \(A\) и \(C\) с \(B\) отрезками. Получится треугольник \(ABC\).

У двух окружностей обычно две точки пересечения: \(C\) над отрезком \(AB\) и симметричная ей точка под отрезком. Поэтому существуют два положения треугольника, но они равны и зеркально симметричны относительно прямой \(AB\). В задачах достаточно выбрать любое из них.

Почему построение даёт нужный треугольник

Все точки окружности с центром \(A\) находятся на расстоянии \(b\) от \(A\). Поэтому точка \(C\), лежащая на первой окружности, удовлетворяет равенству \(AC=b\). Аналогично, принадлежность \(C\) второй окружности означает \(BC=a\). Отрезок \(AB\) был построен длиной \(c\).

Пересечение окружностей существует именно при выполнении условия треугольника. Расстояние между центрами окружностей равно \(AB=c\), а радиусы равны \(b\) и \(a\). Для пересечения в двух точках необходимо, чтобы расстояние между центрами было меньше суммы радиусов и больше их разности. Это равносильно системе неравенств треугольника.

Разобранный пример

Проверка результата: по построению \(AB=6\) см, \(AC=5\) см и \(BC=4\) см. Значит, задача выполнена. Если выбрать вторую точку пересечения окружностей, получится такой же треугольник, отражённый относительно \(AB\).

Особые случаи и частые ошибки

Если две заданные стороны равны, окружности имеют одинаковые радиусы или радиусы, связанные с равными сторонами. Построение выполняется тем же способом. При трёх равных сторонах получится равносторонний треугольник.

• Сначала упорядочены длины или найдена наибольшая сторона.
• Проверено, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей.
• У каждой окружности правильно указаны центр и радиус.
• Точка C взята в пересечении окружностей.
• Все три стороны соединены и подписаны.

Связь с другими построениями

Построение по трём сторонам — частный случай метода геометрических построений, где длины переносят циркулем. После получения треугольника можно выполнить дополнительные построения: провести перпендикуляр для высоты, биссектрису угла или медиану. Если известны не три стороны, а сторона и углы, используется построение по стороне и углам.