Длина биссектрисы треугольника
Длина биссектрисы треугольника — это длина отрезка, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной и делит угол при этой вершине пополам. Её можно найти через стороны треугольника или через отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону.
Пусть \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a\), а \(BD=m\) и \(DC=n\). По свойству биссектрисы треугольника точка \(D\) делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \(\frac{m}{n}=\frac{c}{b}\). Поэтому для вычисления длины можно использовать несколько равносильных формул.
Формулы
Первая формула использует три стороны, вторая — стороны и полупериметр, а третья удобна, если уже известны отрезки \(BD=m\) и \(DC=n\). Формула \(l_a=\sqrt{bc-mn}\) получается из соотношения между сторонами и отрезками, на которые биссектриса делит сторону.
В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD=4\) и \(DC=5\). Пусть \(AB=6\), \(AC=7\). Тогда \(l_a=\sqrt{6\cdot7-4\cdot5}=\sqrt{22}\). Значит, длина биссектрисы равна \(\sqrt{22}\).
Длина медианы вычисляется по другой формуле. Медиана делит противоположную сторону пополам, а биссектриса делит противоположный угол пополам и обычно не делит сторону на равные части. В равнобедренном треугольнике из вершины к основанию эти отрезки совпадают.
Какую формулу используют, если известны \(AB=b\), \(AC=c\), \(BD=m\) и \(DC=n\)?
Главное
- Биссектриса соединяет вершину с противоположной стороной и делит угол пополам.
- Основные формулы: \(l_a=\sqrt{bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)}\) и \(l_a=\sqrt{bc-mn}\).
- Для правильного выбора формулы сначала обозначьте стороны и отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону.