Задание № 14 · ОГЭ

Свойства арифметической прогрессии

Формулы, свойства членов и применение арифметической прогрессии

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа. В этой теме научимся находить члены прогрессии, её разность и сумму, а также использовать свойства средних членов при решении экзаменационных задач.

Определение и основные обозначения

Арифметическая прогрессия обозначается так: \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots\). Число \(a_1\) называют первым членом, \(a_n\) — \(n\)-м членом, а постоянное число \(d\) — разностью арифметической прогрессии.

Определение

Арифметическая прогрессия — это последовательность, для каждого соседнего члена которой выполняется равенство \(a_{n+1}=a_n+d\), где \(d\) — одно и то же число.

\[a_{n+1}-a_n=d\]

Если \(d>0\), прогрессия возрастает; если \(d<0\), убывает; если \(d=0\), все её члены равны. Разность находят вычитанием двух соседних членов: \(d=a_2-a_1=a_3-a_2\).

Запомнить

Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно сравнить разности соседних членов. Если они одинаковы, последовательность — арифметическая прогрессия.

Формула n-го члена

При переходе от первого члена к \(n\)-му разность \(d\) прибавляется \(n-1\) раз. Поэтому любой член можно найти напрямую, не выписывая все предыдущие.

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Теорема о n-м члене

\(n\)-й член арифметической прогрессии равен сумме первого члена и произведения разности на число переходов от первого члена к \(n\)-му: \(a_n=a_1+(n-1)d\).

Из этой формулы удобно получать и другие величины:

\[d=\frac{a_n-a_m}{n-m},\qquad a_1=a_n-(n-1)d\]

В первой формуле индексы \(m\) и \(n\) должны быть различны. Она особенно полезна, когда известны два члена прогрессии, но неизвестны первый член и разность.

Средние члены и симметрия

В арифметической прогрессии члены, равноудалённые от начала, образуют пары с постоянной суммой. Это позволяет быстро находить неизвестные элементы и является частным случаем характеристического свойства арифметической прогрессии.

\[a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k\]

Средний член

Каждый член арифметической прогрессии, стоящий между двумя равноудалёнными от него членами, равен их среднему арифметическому: \(a_k=\frac{a_{k-r}+a_{k+r}}{2}\).

В частности, для трёх последовательных членов выполняется равенство:

\[a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n\]

Если известны крайние члены конечного отрезка прогрессии, то средний член также равен их среднему арифметическому. Подробный способ вычисления среднего можно повторить на странице среднее арифметическое членов прогрессии.

Микро-проверка

Последовательность \(7, 11, 15, 19, \ldots\) является арифметической. Чему равен \(a_{10}\)?

Сумма первых n членов

Для нахождения суммы первых \(n\) членов используют первый и последний члены. При сложении записи суммы в прямом и обратном порядке каждое слагаемое объединяется с равноудалённым членом, и каждая пара даёт \(a_1+a_n\).

\[S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\]

Сумма первых членов

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии равна половине произведения числа членов на сумму первого и последнего членов.

Если последний член неизвестен, его сначала находят по формуле общего члена. Тогда:

\[S_n=\frac{n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2}\]

Эта формула удобна, когда заданы \(a_1\), \(d\) и \(n\). В задачах на сумму внимательно различайте \(n\) — количество слагаемых — и индекс последнего члена.

Разобранный пример

№

Задача

В арифметической прогрессии \(a_3=10\), \(a_8=25\). Найдите \(a_1\), разность \(d\) и сумму первых восьми членов \(S_8\).

Запишем формулу n-го члена для обоих известных членов.

\(\displaystyle a_3=a_1+2d=10,\qquad a_8=a_1+7d=25\)

Вычтем первое равенство из второго. Первый член сократится.

5d=15

Найдём разность.

d=3

Подставим разность в первое уравнение и найдём первый член.

\(\displaystyle a_1+2\cdot3=10\quad\Rightarrow\quad a_1=4\)

Восьмой член уже известен, поэтому применим формулу суммы.

\(\displaystyle S_8=\frac{8(a_1+a_8)}{2}=\frac{8(4+25)}{2}=116\)

Ответ: \(a_1=4\), \(d=3\), \(S_8=116\). Проверка: последовательность начинается так: \(4,7,10,13,16,19,22,25\); сумма действительно равна \(116\).

Как решать типовые задачи

Если нужно найти член по \(a_1\), \(d\) и номеру, применяйте \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Если даны два члена с известными номерами, сначала найдите разность по формуле \(d=\frac{a_n-a_m}{n-m}\).
Если требуется сумма, определите количество слагаемых и последний член, затем используйте \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\).
Если в условии есть равноудалённые индексы, проверьте свойство \(a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k\) — оно часто сокращает вычисления.
При текстовой задаче составьте таблицу: номер члена, значение члена, разность и число переходов.

Частые ошибки

1. В формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\) заменяют \(n-1\) на \(n\). От первого до первого члена нет ни одного перехода. 2. Путают разность \(d\) и первый член \(a_1\). 3. В формуле суммы считают \(n\) индексом последнего члена, хотя первый член может иметь другой индекс. 4. При отрицательной разности теряют знак «минус». 5. Называют средним арифметическим любые два члена: свойство \(a_k=\frac{a_{k-r}+a_{k+r}}2\) работает только при равноудалённых индексах.

Приём проверки

После нахождения ответа выпишите два соседних перехода. Если каждый раз прибавляется одно и то же \(d\), вычисление согласовано. Для суммы можно проверить результат попарным сложением первого и последнего, второго и предпоследнего членов.

Quick-test

Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · формула n-го члена

Для прогрессии \(5, 8, 11, \ldots\) чему равен \(a_7\)?

Главное за минуту

Главное

Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность: \(a_{n+1}-a_n=d\).
Главная формула: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Для равноудалённых членов: \(a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k\).
Сумма первых \(n\) членов: \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2\).
В задаче сначала определите известные индексы и количество переходов, затем выберите формулу и проверьте знак разности.