Коренная функция
Коренная функция — это функция, в записи которой переменная находится под знаком корня. В школьных задачах чаще всего рассматривают функцию \(y=\sqrt{x}\): её график начинается в начале координат и расположен в первой координатной четверти.
Основная формула и область определения
Для функции \(y=\sqrt{x}\) область определения — все \(x\ge 0\), то есть \([0;+\infty)\). Область значений также задаётся условием \(y\ge 0\). Если под корнем стоит выражение, сначала находят область определения функции: например, для \(y=\sqrt{2x-6}\) требуется \(2x-6\ge0\), откуда \(x\ge3\).
Свойства и график
- Функция \(y=\sqrt{x}\) возрастает на всей области определения: чем больше \(x\), тем больше значение \(y\).
- График проходит через точки \((0;0)\), \((1;1)\), \((4;2)\) и \((9;3)\).
- График находится только при \(x\ge0\) и \(y\ge0\), поэтому располагается в первой координатной четверти.
- График не является прямой; это ветвь кривой, начинающаяся в точке \((0;0)\).
Найдём область определения функции \(y=\sqrt{x+5}\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x+5\ge0\), значит, \(x\ge-5\). Следовательно, область определения — \([-5;+\infty)\), а график начинается в точке \((-5;0)\).
Корень \(\sqrt{x}\) существует только при \(x\ge0\) и по определению обозначает неотрицательное число. Поэтому неверно считать, что \(\sqrt{9}=\pm3\): верно \(\sqrt{9}=3\). Знаки \(\pm3\) появляются при решении уравнения \(x^2=9\).
Какова область определения функции \(y=\sqrt{4-x}\)?
Главное
- Для функции \(y=\sqrt{x}\) область определения: \(x\ge0\), область значений: \(y\ge0\).
- График начинается в точке \((0;0)\), расположен в первой координатной четверти и возрастает.
- Для функции \(y=\sqrt{f(x)}\) область определения находят из неравенства \(f(x)\ge0\).