Тапсырмалар № 19, 20 · ЕГЭ

Сумма делителей числа

Как найти сумму всех натуральных делителей по каноническому разложению

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Сумма делителей числа — это сумма всех его натуральных делителей, включая 1 и само число. Если число представлено в каноническом виде, сумму можно быстро вычислить по специальной формуле.

Сумма делителей числаГреческая буква $\sigma$ традиционно используется для обозначения суммы.

Для натурального числа $n$ сумма делителей — это число, равное сумме всех натуральных чисел, на которые $n$ делится без остатка. Обычно её обозначают $\sigma(n)$. Для применения формулы нужно использовать основную теорему арифметики и записать число в виде канонического разложения.

Формула

Пусть разложение на простые множители имеет вид $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$, где $p_1,p_2,\ldots,p_k$ — различные простые числа, а $a_1,a_2,\ldots,a_k$ — их показатели. Тогда сумма всех натуральных делителей находится так:

\[\sigma(n)=(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(1+p_k+p_k^2+\cdots+p_k^{a_k})\]1

Каждая скобка — сумма степеней одного простого множителя. При необходимости её можно вычислить как сумму геометрической прогрессии: $1+p+\cdots+p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$.

№

Пример

Найдём сумму делителей числа $60$. Его каноническое разложение: $60=2^2\cdot3\cdot5$. Поэтому $\sigma(60)=(1+2+2^2)(1+3)(1+5)=7\cdot4\cdot6=168$. Действительно, делители $60$ в сумме дают $168$.

Не перепутайте

Сумма делителей и количество делителей числа — разные величины. Для $60$ количество делителей равно $(2+1)(1+1)(1+1)=12$, а сумма делителей равна $168$.

Проверьте себя

Чему равна сумма всех натуральных делителей числа $18=2\cdot3^2$?

Главное за минуту

Главное

Сначала представьте число в каноническом виде $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$.
Сумма делителей равна произведению сумм степеней каждого простого множителя.
Не путайте сумму делителей с их количеством.

Формула

Чему равна сумма всех натуральных делителей числа \(18=2\cdot3^2\)?

Главное