Степенная функция
Степенная функция — это функция, в которой переменная возводится в постоянную степень. Её график и область определения зависят от показателя степени: он может быть целым, дробным или отрицательным.
Формула и область определения
Если \(a\) — натуральное число, область определения — все действительные числа. При чётном \(a\) график симметричен относительно оси \(Oy\), а при нечётном — относительно начала координат. Например, \(y=x^2\) имеет вид параболы, а \(y=x^3\) — график кубической функции.
Если \(a<0\), то \(x=0\) исключается из области определения: \(y=\frac{1}{x^n}\) или, например, \(y=\frac{1}{x^2}\). График имеет две ветви и асимптоту \(x=0\). Если показатель дробный, область определения уточняют по наличию корня: при \(y=\sqrt{x}\) допустимы только \(x\ge0\), а при \(y=\sqrt[3]{x}\) — любые действительные \(x\).
Рассмотрим \(y=x^2\). Область определения: \(x\in\mathbb{R}\). Значения функции неотрицательны, график проходит через точки \((0;0)\), \((1;1)\) и \((-1;1)\) и симметричен относительно оси \(Oy\).
Степенная функция \(y=x^a\) и показательная функция \(y=a^x\) — разные понятия. В первой переменная находится в основании степени, во второй — в показателе. Также график \(y=x^3\) не следует смешивать с кубической функцией общего вида \(y=ax^3+bx^2+cx+d\).
Какова область определения функции \(y=\sqrt{x}\)?
Главное
- Степенная функция имеет вид \(y=x^a\).
- Область определения зависит от показателя степени и ограничений на корни и знаменатели.
- При натуральном показателе графики имеют знакомые формы: парабола при \(a=2\) и кубическая кривая при \(a=3\).