Статистические таблицы и характеристики
Статистическая таблица помогает упорядочить результаты наблюдений и быстро вычислить характеристики выборки. В этой теме разберём, как находить абсолютные и относительные частоты, строить вычислительную таблицу и использовать кумулятивные суммы.
1. Выборка и таблица частот
Выборка — набор значений, полученных при наблюдении или измерении. Например, результаты контрольной работы пяти учеников образуют выборку \(4, 5, 3, 5, 4\). Значения, которые встречаются в выборке, называют вариантами. Их обычно записывают в порядке возрастания: \(3, 4, 5\).
Абсолютная частота варианта — число \(n_i\), показывающее, сколько раз этот вариант встречается в выборке. Сумма всех абсолютных частот равна объёму выборки.
В таблице частот обычно две основные строки или два столбца: варианты \(x_i\) и их абсолютные частоты \(n_i\). Если значение \(x_i\) встретилось 7 раз, напротив него записывают \(n_i=7\).
Относительная частота варианта — доля наблюдений с этим значением. Она равна отношению абсолютной частоты к объёму выборки и может быть записана дробью, десятичным числом или процентом.
Сумма относительных частот равна \(1\) или \(100\%\). Это удобная проверка правильности вычислений.
| Баллы \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Абсолютная частота \(n_i\) | 2 | 3 | 5 | 4 | 1 |
| Относительная частота \(w_i\) | \(2/15\) | \(3/15\) | \(5/15\) | \(4/15\) | \(1/15\) |
2. Вычислительная таблица и среднее
Чтобы быстро найти среднее арифметическое выборки, удобно добавить в таблицу столбец \(x_i n_i\). Он показывает вклад каждого варианта в общую сумму всех наблюдений.
Такую таблицу называют вычислительной. В ней чаще всего используют столбцы \(x_i\), \(n_i\) и \(x_i n_i\). Иногда добавляют относительные частоты или накопленные суммы.
| Варианта \(x_i\) | Частота \(n_i\) | Произведение \(x_i n_i\) |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 |
| 4 | 5 | 20 |
| 6 | 1 | 6 |
| Итого | 9 | 32 |
Для этой таблицы объём выборки равен \(n=9\), а сумма всех значений равна \(32\). Поэтому \(\overline{x}=32/9\approx3{,}56\).
Если вариант \(x_i\) встречается \(n_i\) раз, его вклад в сумму выборки равен \(x_i n_i\). Среднее находится делением суммы всех вкладов на сумму частот.
В выборке объёма \(20\) число \(7\) встречается \(6\) раз. Какова его относительная частота?
3. Накопленные частоты и кумулятивная сумма
Если варианты упорядочены по возрастанию, можно для каждого значения посчитать, сколько наблюдений не превосходит его. Полученные числа называют накопленными, или кумулятивными, частотами.
Последняя накопленная частота всегда равна объёму выборки \(n\). Разность соседних накопленных частот возвращает обычную частоту: \(n_i=N_i-N_{i-1}\), где \(N_0=0\). Накопленные частоты особенно полезны при поиске медианы и анализе доли значений, не превосходящих заданное число.
| \(x_i\) | \(n_i\) | Накопленная частота \(N_i\) |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 3 |
| 4 | 5 | 8 |
| 6 | 1 | 9 |
Например, \(N_2=8\) означает: в выборке 8 значений, которые не больше 4. Накопленная относительная частота равна \(N_i/n\) и показывает соответствующую долю выборки.
Кумулятивная сумма — последовательное сложение элементов: к каждому следующему числу прибавляют предыдущее значение суммы. Для частот это сумма \(n_1+n_2+\ldots+n_i\).
4. Разобранный пример
В таблице указано, сколько книг прочитали 20 учеников за месяц. Построим вычислительную таблицу, найдём среднее число книг, относительную частоту значения 2 и накопленные частоты.
| Число книг \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число учеников \(n_i\) | 2 | 5 | 7 | 4 | 2 |
| \(x_i\) | \(n_i\) | \(x_in_i\) | \(w_i\) | \(N_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 0 | 0,10 | 2 |
| 1 | 5 | 5 | 0,25 | 7 |
| 2 | 7 | 14 | 0,35 | 14 |
| 3 | 4 | 12 | 0,20 | 18 |
| 4 | 2 | 8 | 0,10 | 20 |
| Итого | 20 | 39 | 1,00 | 20 |
Среднее число прочитанных книг равно \(1{,}95\). Относительная частота значения \(2\) равна \(0{,}35\), или \(35\%\). Кумулятивные суммы: \(2, 7, 14, 18, 20\).
5. Другие характеристики и проверки
По упорядоченной таблице можно найти основные характеристики выборки. Мода — вариант с наибольшей частотой. В примере мода равна \(2\), потому что частота 7 максимальна. Размах равен разности максимального и минимального вариантов: \(4-0=4\).
Для медианы используют порядок всех наблюдений, включая повторения. При нечётном объёме выбирают центральное значение. При чётном объёме берут среднее арифметическое двух центральных значений. Кумулятивные частоты помогают определить, в каком столбце находятся эти позиции.
1. Не путайте абсолютную частоту \(n_i\) с относительной \(w_i\). 2. В формуле среднего делите на объём выборки, а не на число различных вариантов. 3. В кумулятивной сумме складывайте частоты в порядке возрастания вариантов. 4. Проверяйте: сумма \(n_i\) должна быть \(n\), сумма \(w_i\) — \(1\), последняя накопленная частота — \(n\).
Сначала выпишите варианты по возрастанию. Затем подсчитайте частоты, добавьте столбец \(x_in_i\), отдельно найдите суммы. После этого вычисляйте среднее или доли и в конце выполните проверки. Если в условии дана уже готовая таблица, проверьте, не пропущен ли вариант с нулевой частотой.
Быстрая проверка
Главное
- Абсолютная частота \(n_i\) показывает число появлений варианта; сумма частот равна объёму выборки.
- Относительная частота вычисляется по формуле \(w_i=n_i/n\); сумма относительных частот равна \(1\) или \(100\%\).
- Вычислительная таблица содержит произведения \(x_in_i\), с помощью которых находят среднее: \(\overline{x}=\sum x_in_i/\sum n_i\).
- Кумулятивная сумма \(N_i\) — сумма частот от первого варианта до текущего; последняя сумма равна \(n\).
- Для самопроверки сравнивайте суммы частот, относительных частот и последнюю накопленную частоту.