Задания № 6, 17 · ЕГЭ

Система уравнений с дробями

Определение, ограничения на знаменатели и алгоритм решения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Система уравнений с дробями — это система, в которой хотя бы одно уравнение содержит дробные рациональные выражения. При её решении нужно не только преобразовать уравнения, но и учитывать ограничения: знаменатели не могут быть равны нулю.

Система уравнений с дробями — система, состоящая из двух или более рациональных уравнений, содержащих переменные в знаменателях дробей. Решением системы называют такой набор значений переменных, который удовлетворяет всем уравнениям системы и допустим для каждого выражения. Перед преобразованиями находят область определения уравнения: приравнивают каждый знаменатель к нулю и исключают полученные значения.

Как решают систему

Сначала составляют ограничения на знаменатели. Затем обычно умножают каждое уравнение на общий знаменатель или выполняют метод замены, чтобы избавиться от дробей. Полученную систему решают обычными способами. В конце обязательно проверяют найденные пары по исходной системе и ограничениям. Это отличает такие системы от более простых случаев, описанных в статье «Системы рациональных уравнений».

\[\begin{cases}\dfrac{P_1(x,y)}{Q_1(x,y)}=R_1(x,y),\\[4pt]\dfrac{P_2(x,y)}{Q_2(x,y)}=R_2(x,y),\end{cases}\qquad Q_1(x,y)\ne0,\quad Q_2(x,y)\ne0.\]

№

Короткий пример

Рассмотрим систему \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=2,\\ x+y=6.\end{cases}\) Ограничение: \(y\ne0\). Из первого уравнения \(x=2y\). Подставляем во второе: \(2y+y=6\), значит \(y=2\), \(x=4\). Пара \((4;2)\) допустима и является решением.

Не путайте

Ограничение на знаменатель — это не дополнительное уравнение системы. Если после преобразований получилось значение, при котором знаменатель равен нулю, его нужно исключить, даже если оно удовлетворяет преобразованным уравнениям. Нельзя сокращать дробь на выражение, не проверив, что оно ненулевое.

Проверьте себя

Какое ограничение нужно записать для системы, если в одном из уравнений есть дробь \(\dfrac{x+1}{x-y}\)?

Главное за минуту

Главное

Сначала находят ограничения на все знаменатели: каждый знаменатель не равен нулю.
После избавления от дробей решают полученную систему удобным методом.
Все найденные решения проверяют в исходной системе и исключают недопустимые значения.