Деление отрезка в заданном отношении
Деление отрезка в заданном отношении — это нахождение координат точки, которая разбивает отрезок между двумя известными точками на части с указанным отношением длин. Формула позволяет выполнить такое деление отдельно по каждой координате.
Формула
Координаты точки получают как среднее с весами: координаты точки \(A\) умножают на \(n\), а координаты точки \(B\) — на \(m\). Это связано с тем, что чем ближе точка к одному концу отрезка, тем больше влияет другой конец.
Здесь \(AM:MB=m:n\). Если отношение записано наоборот, например \(MB:AM=m:n\), нужно сначала привести его к виду \(AM:MB\) или поменять местами \(m\) и \(n\). При \(m=n\) получается формула координат середины отрезка; её полезно повторить на странице координаты середины отрезка.
Пусть \(A(1;2)\), \(B(7;8)\), а \(AM:MB=1:2\). Тогда \(m=1\), \(n=2\):
\(M\left(\frac{2\cdot1+1\cdot7}{3};\frac{2\cdot2+1\cdot8}{3}\right)=M(3;4)\). Действительно, точка \(M\) находится ближе к \(A\), потому что \(AM\) в два раза меньше \(MB\).
В формуле координаты \(A\) умножаются на \(n\), а координаты \(B\) — на \(m\), то есть на «противоположную» часть отношения. Частая ошибка — умножить координаты каждой точки на число, стоящее рядом с ней. После вычисления проверьте положение точки: при \(AM:MB=1:2\) она должна быть ближе к \(A\).
Точка \(M\) делит \(AB\) в отношении \(AM:MB=2:1\). Какой коэффициент стоит при координатах точки \(A\)?
Главное
- При \(AM:MB=m:n\) координаты точки равны \(M\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n};\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right)\).
- Координаты каждого конца отрезка умножаются на число, соответствующее противоположной части отношения.
- При равных частях формула превращается в формулу координат середины отрезка.