Решение задач по графику функции
График функции позволяет без вычислений определить значение функции, её нули, промежутки знакопостоянства и основные свойства. Важно внимательно читать координаты точек, учитывать масштаб осей и различать точки графика и их проекции на оси.
Как читать график функции
График функции \(y=f(x)\) — множество точек с координатами \((x; f(x))\). Первая координата точки показывает аргумент \(x\), а вторая — соответствующее значение функции \(y\). Чтобы найти \(f(a)\), нужно найти на оси \(Ox\) число \(a\), провести через него вертикаль до пересечения с графиком, а затем определить ординату точки пересечения.
Значение функции \(f(a)\) — это ордината точки графика, абсцисса которой равна \(a\). Иными словами, если точка \((a;b)\) принадлежит графику, то \(f(a)=b\).
Для обратного вопроса — найти аргументы, при которых \(f(x)=b\) — проводят горизонтальную прямую \(y=b\). Абсциссы всех её пересечений с графиком являются ответами. Поэтому одно и то же значение функции может соответствовать нескольким аргументам.
Если требуется найти \(f(2)\), двигайтесь от числа \(2\) по оси \(Ox\) вверх или вниз. Если требуется решить \(f(x)=3\), двигайтесь от числа \(3\) по оси \(Oy\) горизонтально.
Нули и промежутки знакопостоянства
Нуль функции — значение аргумента, при котором функция равна нулю. На графике нули — это абсциссы точек пересечения графика с осью \(Ox\). Если график касается оси, но не пересекает её, такая точка всё равно является нулём.
Функция положительна на тех промежутках, где её график расположен выше оси \(Ox\): \(f(x)>0\). Функция отрицательна там, где график расположен ниже оси: \(f(x)<0\). Границы промежутков определяются нулями функции и концами области определения.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства, отметьте на оси \(Ox\) все нули функции, разделите область определения этими точками и определите положение графика на каждом получившемся промежутке.
- Найдите точки пересечения графика с осью \(Ox\).
- Запишите их абсциссы в порядке возрастания.
- Проверьте, выше или ниже оси \(Ox\) находится график между соседними нулями.
- Укажите открытые скобки у нулей для строгих неравенств \(f(x)>0\) и \(f(x)<0\).
График пересекает ось \(Ox\) в точках с абсциссами \(-2\) и \(5\). На промежутке \((-2;5)\) он расположен выше оси. Каково множество решений неравенства \(f(x)>0\) на этом промежутке?
Свойства функции по графику
По графику можно определить множество значений функции — все значения \(y\), которых достигает график. Для этого удобно мысленно проводить горизонтальные прямые и смотреть, какие уровни они пересекают.
Основные свойства читаются так:
| Свойство | Как определить по графику |
|---|---|
| Область определения | Спроецировать график на ось \(Ox\): получить все допустимые значения \(x\). |
| Множество значений | Спроецировать график на ось \(Oy\): получить все достигаемые значения \(y\). |
| Возрастание | При движении слева направо график поднимается. |
| Убывание | При движении слева направо график опускается. |
| Постоянство | График содержит горизонтальный участок. |
| Наибольшее значение | Самая высокая точка или верхняя граница графика. |
| Наименьшее значение | Самая низкая точка или нижняя граница графика. |
Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если при увеличении аргумента значение функции уменьшается.
Точку, в которой график меняет возрастание на убывание, называют точкой максимума; смена убывания на возрастание даёт точку минимума. Не следует путать экстремум на рассматриваемом промежутке с самым высоким или самым низким значением на всём графике.
1. Путают \(x\) и \(y\): значение функции читают по вертикальной оси, а не по горизонтальной. 2. Включают нули в ответ к строгому неравенству. 3. Не учитывают пустую точку: она не принадлежит графику. 4. Считают график симметричным без проверки. 5. Игнорируют стрелки и концы графика, по которым определяется область определения.
Разобранный пример
По графику функции известно: график проходит через точки \((-3;2)\), \((-1;0)\), \((2;-3)\) и \((4;1)\), соединённые соответствующими участками. Найдём \(f(-3)\), нули функции и промежутки, где \(f(x)<0\).
Показать проверку решения Проверка
Точка \((-3;2)\) действительно даёт \(f(-3)=2\). В точке \((-1;0)\) график пересекает ось, поэтому \(-1\) — нуль. На отрезке от \(x=2\) до \(x=4\) значение меняется от \(-3\) до \(1\), значит нуль находится между ними; найденное \(x=\frac72=3{,}5\) подходит. Оба нуля не входят в ответ для неравенства \(f(x)<0\).
Если график дан без точных координат или участки не являются прямыми, нельзя вычислять промежуточные нули пропорцией. В таком случае ответ считывают с учётом масштаба или записывают приближённо, если это разрешено условием.
Алгоритм решения заданий по графику
- Прочитайте, что требуется найти: значение, аргумент, нули, знак или свойство.
- Проверьте масштаб делений на обеих координатных осях.
- Для \(f(a)\) используйте вертикальную проекцию, для \(f(x)=b\) — горизонтальную.
- Для знакопостоянства сравнивайте график с осью \(Ox\).
- Для возрастания и убывания двигайтесь по графику слева направо.
- Проверьте открытые и закрытые концы промежутков.
Задачи на пересечение двух графиков решаются аналогично: общие точки имеют одинаковые координаты и находятся как точки пересечения графиков. Подробный приём разобран на странице точки пересечения графиков функций. Графическое решение более сложных уравнений рассматривается на странице графическое решение показательных и логарифмических уравнений.
Краткий тест
Проверь себя
Главное
- \(f(a)\) читают как ординату точки графика с абсциссой \(a\).
- Нули функции — абсциссы точек пересечения или касания графика с осью \(Ox\).
- Знак функции определяется положением графика выше или ниже оси \(Ox\).
- Область определения читают по оси \(Ox\), множество значений — по оси \(Oy\).
- Возрастание, убывание, максимумы и минимумы определяют при движении по графику слева направо.