Задание № 11 · ОГЭ

Предел последовательности

Определение, формула и связь сходимости с ограниченностью

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Предел последовательности — это число, к которому приближаются её члены при увеличении номера. Если последовательность имеет предел, говорят, что она сходится.

Предел последовательностиСлово «предел» связано с границей, к которой приближаются значения.

Число \(A\) называется пределом последовательности \((a_n)\), если для любого числа \(\varepsilon>0\) существует такой номер \(N\), что при всех \(n>N\) выполняется неравенство \(|a_n-A|<\varepsilon\). Обозначают: \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\). Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся сколь угодно близко к \(A\).

Формула определения

\[\lim_{n\to\infty} a_n=A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n>N\Rightarrow |a_n-A|<\varepsilon.\]

В определении \(\varepsilon\) задаёт требуемую точность приближения, а \(N\) показывает, начиная с какого номера эта точность соблюдается. Предел, если он существует, единственен. Подробное понятие сходимости последовательности изучают перед этой темой; сама последовательность рассматривается на странице «Числовая последовательность».

№

Пример

Рассмотрим \(a_n=\frac{1}{n}\). При увеличении \(n\) значение \(\frac{1}{n}\) становится всё ближе к нулю: \(\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\). Поэтому \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n=0\). Например, при требовании точности \(\varepsilon=0{,}01\) достаточно взять \(N=100\): для всех \(n>100\) выполняется \(\left|\frac1n-0\right|<0{,}01\).

Не путайте

Сходящаяся последовательность всегда ограничена: все её члены можно заключить между двумя числами. Но обратное неверно: ограниченность ещё не гарантирует существование предела. Например, последовательность \(a_n=(-1)^n\) ограничена числами \(-1\) и \(1\), но не сходится, потому что чередуется между \(-1\) и \(1\).

Проверьте себя

Чему равен предел последовательности \(a_n=5+\frac{2}{n}\)?

Главное за минуту

Главное

Предел \(A\) — число, к которому члены \(a_n\) приближаются при \(n\to\infty\).
Последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она сходится; сходящаяся последовательность обязательно ограничена.
Ограниченность сама по себе не означает сходимость.