Решение текстовых задач

Решение текстовой задачи начинается не с выбора формулы, а с внимательного разбора условия. Нужно выделить известные и неизвестные величины, установить связи между ними, записать математическую модель, решить полученное уравнение или систему и проверить ответ по смыслу.

1. Как разобрать условие

Условие задачи сообщает, что известно, и описывает связь между величинами. Вопрос задачи показывает, что требуется найти. Сначала полезно прочитать текст целиком, затем выписать данные и определить, какие величины связаны между собой.

1. Прочитайте условие и вопрос задачи, выделите ключевые слова: всего, осталось, увеличилось, уменьшилось, на сколько, во сколько раз, через сколько часов.
2. Определите величины и их единицы измерения: рубли, километры, часы, килограммы, проценты.
3. Выберите неизвестную величину и обозначьте её буквой, обычно \(x\).
4. Выразите через \(x\) другие величины, если это возможно.
5. Запишите связь между величинами в виде уравнения, неравенства или системы.

Не всегда неизвестной удобно считать именно то, о чём спрашивают. Иногда проще обозначить начальное значение, цену одной единицы или скорость одного участника, а затем выразить искомую величину через введённую переменную.

2. Построение модели

Условие задачи переводится на математический язык. Каждое предложение нужно связать с равенством или другим соотношением. Например, «после увеличения на 20%» означает умножение на \(1+0{,}2=1{,}2\), а «после уменьшения на 20%» — умножение на \(1-0{,}2=0{,}8\).

В задачах на движение используют формулу связи расстояния, скорости и времени. В задачах на стоимость применяют произведение цены на количество. Если величины заданы в разных единицах, перед составлением уравнения их нужно привести к одним единицам. Подробнее см. единицы величин в текстовых задачах.

Здесь \(s\) — расстояние, \(v\) — скорость, \(t\) — время, \(C\) — общая стоимость, \(p\) — цена одной единицы, \(q\) — количество.

3. Решение и оформление

Полный алгоритм решения текстовой задачи состоит из последовательных действий: анализ, обозначение неизвестного, составление модели, решение, запись ответа и проверка. В школьной записи важно не только получить число, но и показать, что это число означает.

1. Запишите, что обозначает переменная: «Пусть \(x\) — ...».
2. Выразите остальные величины через \(x\).
3. Составьте уравнение или систему и решите её.
4. Если требуется, округлите результат по условию.
5. Запишите ответ с единицей измерения и проверьте его по смыслу.

4. Составные задачи и несколько условий

В составной задаче неизвестная величина находится через несколько промежуточных действий. Полезно разбить условие на части и определить, что можно найти сначала. Если одно и то же неизвестное связано с несколькими независимыми условиями, может понадобиться нахождение неизвестного по нескольким условиям.

Для задач на движение составьте отдельную строку для каждого участника. При встречном движении расстояние между объектами уменьшается со скоростью, равной сумме их скоростей. При движении в одном направлении важна разность скоростей.

Если в задаче сказано «через несколько часов», «после остановки», «сначала..., затем...», разделите процесс на этапы. Для каждого этапа запишите свои скорость, время и расстояние, а затем объедините результаты.

5. Проверка ответа и типичные ловушки

Проверка ответа по смыслу обязательна даже тогда, когда вычисления кажутся простыми. Подставьте найденное значение в исходную модель и убедитесь, что получаются данные условия.

• Ответ удовлетворяет исходному уравнению или системе.
• Ответ имеет правильную единицу измерения.
• Количество, время, длина и стоимость не отрицательны.
• Результат разумен по величине: например, время не должно быть больше всего доступного времени без причины.
• Процент вычислен от правильной величины — той, которую условие называет исходной.

Особенно внимательными нужно быть в обратных задачах. Если после скидки цена равна 80% первоначальной, чтобы восстановить первоначальную цену, нужно делить на \(0{,}8\), а не увеличивать 960 рублей на 20%. Поэтому прямая и обратная задача требуют разного направления вычислений.

Быстрая проверка