Свойства остатка при делении
Свойства остатка позволяют находить остаток от деления суммы, произведения или степени, не вычисляя само большое число полностью. Для этого достаточно заменить числа их остатками по одному и тому же делителю.
Основные правила
Запись \(a\equiv r\pmod m\) означает, что числа \(a\) и \(r\) имеют одинаковый остаток при делении на \(m\). Тогда выполняются правила:
- \(a+b\equiv r+s\pmod m\); если \(r+s\ge m\), результат можно ещё раз уменьшить по модулю \(m\).
- \(a-b\equiv r-s\pmod m\); при необходимости к отрицательному результату прибавляют \(m\).
- \(a\cdot b\equiv r\cdot s\pmod m\); полученное произведение также заменяют его остатком.
- \(a^n\equiv r^n\pmod m\) для натурального \(n\).
Чтобы найти остаток числа \(a^n\), сначала находят остаток \(r\) числа \(a\), а затем вычисляют остаток от деления \(r^n\) на \(m\). Это особенно удобно для больших степеней и связано с задачами на последнюю цифру степени.
Найдём остаток числа \(37^2+24\cdot19\) при делении на \(5\). Остатки: \(37\equiv2\), \(24\equiv4\), \(19\equiv4\pmod5\). Поэтому \(37^2+24\cdot19\equiv2^2+4\cdot4=20\equiv0\pmod5\). Жауабы: остаток \(0\).
Остаток всегда должен быть неотрицательным и меньше делителя: \(0\le r<m\). Например, жазба \(17\equiv -1\pmod6\) верна как сравнение, но обычный остаток при делении \(17\) на \(6\) равен \(5\).
Какой остаток имеет число \(23\cdot18+7\) при делении на \(5\)?
Главное
- Заменяйте каждое число его остатком по тому же делителю.
- Для суммы, разности, произведения и степени действие можно выполнять с остатками.
- После вычислений приведите результат к виду \(0\le r<m\).