Последняя цифра степени
Последняя цифра степени определяется не величиной самого числа, а его остатком при делении на \(10\). Поэтому даже огромную степень можно вычислить быстро: достаточно найти цикл последних цифр и определить, какое место в цикле занимает показатель степени.
Что означает последняя цифра
Последняя цифра натурального числа — это его остаток при делении на \(10\). Например, \(347\) при делении на \(10\) даёт остаток \(7\), поэтому последняя цифра числа \(347\) равна \(7\). Для поиска последней цифры степени достаточно работать с числами от \(0\) до \(9\).
Последняя цифра числа \(N\) — это остаток \(r\) при делении \(N\) на \(10\), где \(0\le r\le 9\). Записывают: \(N\equiv r\pmod{10}\).
Полезно вспомнить остаток при делении и свойства остатков при делении. Если два числа имеют одинаковый остаток при делении на \(10\), их последние цифры совпадают. Поэтому при вычислении \(a^n\) можно заменить основание \(a\) его последней цифрой.
Например, для последней цифры \(23^{17}\) достаточно рассмотреть \(3^{17}\), потому что \(23\equiv3\pmod{10}\). Полностью вычислять \(23^{17}\) не нужно.
Циклы последних цифр
При последовательном возведении одной цифры в натуральные степени последние цифры начинают повторяться. Повторяющаяся последовательность называется циклом. Длина цикла зависит от последней цифры основания.
| Последняя цифра основания | Цикл последних цифр | Длина цикла |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | 1 |
| \(1\) | \(1\) | 1 |
| \(2\) | \(2,4,8,6\) | 4 |
| \(3\) | \(3,9,7,1\) | 4 |
| \(4\) | \(4,6\) | 2 |
| \(5\) | \(5\) | 1 |
| \(6\) | \(6\) | 1 |
| \(7\) | \(7,9,3,1\) | 4 |
| \(8\) | \(8,4,2,6\) | 4 |
| \(9\) | \(9,1\) | 2 |
Пусть последняя цифра основания равна \(d\), а длина цикла равна \(k\). Чтобы найти последнюю цифру \(d^n\), нужно разделить \(n\) на \(k\) и определить остаток \(r\). Если \(r\ne0\), берут \(r\)-ю цифру цикла; если \(r=0\), берут последнюю, \(k\)-ю цифру цикла.
Для цифр \(2,3,7,8\) обычно используют цикл длины \(4\), а для цифр \(4,9\) — цикл длины \(2\). Для \(0,1,5,6\) последняя цифра не меняется при возведении в натуральную степень.
Алгоритм решения
Задания на последнюю цифру удобно решать по одному алгоритму. Он подходит для больших показателей степени, которые невозможно или нерационально вычислять напрямую.
- Найти последнюю цифру основания: заменить \(a\) на \(d=a\bmod10\).
- Записать цикл последних цифр для \(d\).
- Определить длину цикла \(k\).
- Найти остаток \(r\) от деления показателя \(n\) на \(k\).
- Выбрать соответствующую цифру цикла. Если остаток равен нулю, взять последнюю цифру цикла.
Если последняя цифра основания равна \(0,1,5\) или \(6\), ответ виден сразу. Например, последняя цифра \(35^{2024}\) равна \(5\), а последняя цифра \(76^{999}\) равна \(6\).
Какова последняя цифра числа \(7^{2025}\)?
Разобранный пример
Найдём последнюю цифру выражения \(23^{145}+17^{82}\).
Ответ: последняя цифра выражения равна \(2\). Обратите внимание: отдельно последние цифры слагаемых складывать можно, но если сумма получилась двузначной, нужно оставить только её последнюю цифру.
Сложные случаи: произведения и показатели
Если требуется найти последнюю цифру произведения степеней, каждую степень можно рассмотреть отдельно, а затем перемножить найденные последние цифры. Например, для \(2^{100}\cdot3^{50}\) сначала находят последние цифры \(2^{100}\) и \(3^{50}\), а затем перемножают их по модулю \(10\).
Если степень стоит в показателе другой степени, сначала нужно разобраться с внутренним показателем. Например, в выражении \(2^{3^{20}}\) цикл для основания \(2\) имеет длину \(4\), поэтому важно найти остаток числа \(3^{20}\) при делении на \(4\). Так как \(3^n\) при нечётном \(n\) даёт остаток \(3\), а при чётном — \(1\), получаем \(3^{20}\equiv1\pmod4\). Значит, последняя цифра \(2^{3^{20}}\) — первая цифра цикла для \(2\), то есть \(2\).
В выражении \(a^{b^c}\) сначала определяют показатель \(b^c\) по модулю длины цикла основания \(a\). Нельзя заменять показатель его последней цифрой без проверки: нужно учитывать именно делитель, равный длине цикла.
В некоторых задачах встречается сумма нескольких степеней или произведение больших чисел. Работайте с каждым слагаемым или множителем отдельно, постоянно сохраняя только остаток по модулю \(10\). Это не меняет последнюю цифру результата.
1. Забывают заменить основание его последней цифрой. 2. При остатке \(0\) берут нулевой элемент цикла, хотя нужно брать последнюю цифру цикла. 3. Путают порядок цифр в циклах \(2,4,8,6\) и \(8,4,2,6\). 4. Складывают или перемножают найденные цифры и не берут последнюю цифру результата. 5. Для выражения \(a^{b^c}\) находят остаток \(b^c\) при делении на \(10\), хотя требуется деление на длину цикла основания.
Как сокращать вычисления
При больших показателях не обязательно выписывать все степени. Достаточно знать длину цикла и выполнить одно деление с остатком. Для циклов длины \(4\) особенно удобно смотреть на последние две цифры показателя: остаток при делении на \(4\) определяется ими. Например, \(2028\equiv0\pmod4\), поэтому для основания с циклом длины \(4\) выбирают четвёртый элемент.
- Циклы длины \(1\): основания с последними цифрами \(0,1,5,6\).
- Циклы длины \(2\): последние цифры \(4,9\).
- Циклы длины \(4\): последние цифры \(2,3,7,8\).
- При сложении и умножении сначала находят остатки отдельных частей, затем выполняют действие по модулю \(10\).
Циклы: \(2\to2486\), \(3\to3971\), \(7\to7931\), \(8\to8426\); \(4\to46\), \(9\to91\); для \(0,1,5,6\) цикл состоит из одной цифры.
Быстрая проверка
Главное
- Последняя цифра числа — это его остаток при делении на \(10\).
- Основание степени можно заменить его последней цифрой.
- Для каждой последней цифры основания существует короткий цикл последних цифр.
- Показатель делят на длину цикла; остаток \(0\) означает последний элемент цикла.
- В суммах, произведениях и вложенных степенях сначала находят остатки отдельных частей, затем выполняют действие по модулю \(10\).