ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 13, 17 · ЕГЭ

Разложение многочлена на множители

Основные способы разложения многочленов на множители для шешімдер уравнений и неравенств
5 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения многочленов более низкой степени. Такой приём помогает работать с многочленами, находить корни многочлена, решать алгебраические уравнения и исследовать знак выражения в неравенствах.

Что значит разложить многочлен на множители

Многочлен разложен на множители, если он записан как произведение двух или нескольких выражений. Например, \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). В правой части множители имеют меньшую степень, чем исходный многочлен.

D
Определение

Разложение многочлена на множители — преобразование суммы или разности одночленов в произведение выражений, равное исходному многочлену при всех допустимых значениях переменных.

Главное свойство: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Поэтому после разложения уравнение сводится к нескольким более простым уравнениям.

\[A(x)B(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad A(x)=0\ \text{или}\ B(x)=0.\]
T
Теорема о нулевом произведении

Если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Обратно: если один из множителей равен нулю, произведение равно нулю.

Основные приёмы разложения

Перед применением формулы полезно проверить, нет ли общего множителя у всех слагаемых. Это самый простой способ разложения.

\[ab+ac=a(b+c).\]

Если общий множитель содержит переменную, его также выносят полностью: \(6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)\). При вынесении общего множителя следите за знаками, особенно если первым слагаемым является отрицательное.

Часто используются формулы сокращённого умножения.

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b);\qquad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2;\qquad a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\]
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\]

Для многочлена второй степени \(ax^2+bx+c\) можно найти корни и представить его через линейные множители. Если корни \(x_1\) и \(x_2\) различны, то

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\]

Когда группировка слагаемых позволяет вынести одинаковую скобку, применяют разложение группировкой: \(ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)\). Иногда сначала приходится переставить слагаемые или вынести знак «минус».

Проверь себя

Как разложить выражение \(x^2-16\)?

Как решать уравнения разложением

Алгоритм шешімдер обычно состоит из нескольких қадам.

  1. Перенести все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы другая часть была равна нулю.
  2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
  3. Вынести общий множитель или применить подходящую формулу.
  4. Приравнять каждый множитель к нулю.
  5. Объединить найденные корни и проверить их в исходном уравнении, если были преобразования с ограничениями.
Как выбрать приём

Сначала ищите общий множитель. Затем проверяйте формулы сокращённого умножения. Если выражение имеет четыре слагаемых, попробуйте группировку. Для квадратного трёхчлена найдите корни или подберите разложение по коэффициентам.

Разобранный пример

Решим уравнение \(x^3-4x^2-x+4=0\).

1
Переносить ничего не нужно: уравнение уже имеет вид многочлена, равного нулю.
\(\displaystyle x^3-4x^2-x+4=0\)
2
Сгруппируем первые два и последние два слагаемых.
\(\displaystyle (x^3-4x^2)+(-x+4)=0\)
3
Вынесем общий множитель из каждой группы.
\(\displaystyle x^2(x-4)-(x-4)=0\)
4
Вынесем общую скобку \(x-4\).
\(\displaystyle (x-4)(x^2-1)=0\)
5
Разложим разность квадратов.
(x-4)(x-1)(x+1)=0
6
Приравняем каждый множитель к нулю.
\(\displaystyle x-4=0\quad\text{или}\quad x-1=0\quad\text{или}\quad x+1=0\)
7
Запишем ответ.
\(\displaystyle x=4,\quad x=1,\quad x=-1\)
№
Жауап к примеру

Корни уравнения: \(x\in\{-1,1,4\}\). Проверка возможна подстановкой: при каждом из этих значений один из множителей равен нулю, поэтому всё произведение равно нулю.

Для уравнений более высокой степени полезно искать рациональный корень, после чего делить многочлен на соответствующий линейный множитель. Этот метод подробно связан с темой рациональных корней многочлена. Также разложение часто появляется после замены переменной или при решении уравнения высшей степени.

Разложение и неравенства

После разложения неравенства на множители нужно определить знак произведения на числовой прямой. Сначала выписывают все нули множителей и точки, в которых выражение не определено. Затем числовую прямую делят этими точками на промежутки.

\[(x-a)(x-b)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<a\ \text{или}\ x>b\quad(a<b).\]

Если корень имеет нечётную кратность, знак при переходе через него меняется. Если кратность чётная, знак сохраняется. Для неравенств со знаком \(\ge\) немесе \(\le\) нули включают в жауап, если выражение определено в этих точках.

−112345−112345678xy0y = (x−1)·(x−3)
График \(y=(x-1)(x-3)\): выражение положительно при \(x<1\) и \(x>3\), отрицательно при \(1<x<3\).

Например, для \((x-1)(x-3)\le 0\) ответом будет отрезок \([1;3]\). Точки \(1\) и \(3\) включаются, потому что произведение в них равно нулю.

!
Частые ошибки

Не сокращайте множитель, не проверив, что он не равен нулю: из \((x-2)(x+1)=0\) нельзя убрать \((x-2)\). Не забывайте менять знак всех слагаемых при вынесении \(-1\). В неравенстве учитывайте кратность корней и включайте нули только при знаках \(\ge\) немесе \(\le\).

Проверка и связь с другими темами

Разложение можно проверить обратным раскрытием скобок. Если получен квадратный трёхчлен, полезно сравнить сумму и произведение найденных корней с коэффициентами: это связано с теоремой Виета для многочлена. Для уравнений четвёртой степени разложение иногда появляется после группировки или замены переменной. В уравнениях с особыми свойствами могут использоваться симметрия и однородность.

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · формулы сокращённого умножения
Разложите \(x^2-25\).
Главное за минуту

Главное

  • Разложение превращает многочлен в произведение множителей и упрощает Шешім уравнений.
  • Сначала ищите общий множитель, затем проверяйте формулы сокращённого умножения и группировку.
  • Для уравнения \(A(x)B(x)=0\) каждый множитель по очереди приравнивают к нулю.
  • В неравенствах после нахождения корней исследуют знак произведения на промежутках.
  • Всегда проверяйте знаки, кратность корней и допустимость найденных значений.