Расстояние от прямой до плоскости
Расстояние от прямой до плоскости — это длина перпендикуляра, проведённого из любой точки прямой к плоскости, если прямая параллельна плоскости. Благодаря параллельности это расстояние не зависит от выбранной точки прямой.
Параллельность прямой и плоскости означает, что прямая не имеет с плоскостью общих точек. Признаки и свойства этого положения рассматриваются на странице параллельность прямой и плоскости. Если прямая лежит в плоскости или пересекает её, расстояние между ними считают равным нулю.
Формула
Для вычисления достаточно выбрать любую удобную точку \(A\) на прямой и найти расстояние от неё до плоскости. Важно, что перпендикуляр должен быть проведён именно к плоскости, а не к произвольной прямой, лежащей в ней. Часто задачу сводят к расстоянию от точки до плоскости; в координатах такой способ разобран на странице расстояние от точки до плоскости.
Пусть прямая \(l\) параллельна плоскости \(\alpha\). Из точки \(A\in l\) проведён перпендикуляр \(AH\) к плоскости, причём \(AH=7\) см. Тогда расстояние от прямой \(l\) до плоскости \(\alpha\) равно \(7\) см: \(d(l,\alpha)=AH=7\) см. Любая другая точка прямой даст такой же результат.
Расстояние от прямой до плоскости — не длина наклонного отрезка и не расстояние до одной выбранной точки плоскости. Перпендикуляр к плоскости должен иметь основание в плоскости и быть перпендикулярным всем прямым плоскости, проходящим через основание. Если расстояние требуется между двумя параллельными плоскостями, используется другое понятие — расстояние между параллельными плоскостями.
Прямая \(l\) параллельна плоскости \(\alpha\). На прямой выбраны точки \(A\) и \(B\). Как соотносятся расстояния от этих точек до плоскости?
Главное
- Расстояние от прямой до параллельной плоскости равно длине перпендикуляра из любой точки прямой к плоскости.
- Формула: \(d(l,\alpha)=d(A,\alpha)=AH\).
- Если прямая пересекает плоскость или лежит в ней, расстояние равно нулю.