Расстояние между точками в пространстве
Расстояние между двумя точками в пространстве — это длина отрезка, соединяющего эти точки. Если координаты точек известны, расстояние находят по формуле, основанной на теореме Пифагора.
Формула
Чтобы применить формулу, найдите разности абсцисс, ординат и аппликат точек, возведите их в квадрат, сложите результаты и извлеките квадратный корень.
Эту формулу можно понимать как обобщение расстояния на плоскости: к двум координатным направлениям добавляется третье. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \((x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1)\), а его длина равна расстоянию между точками; векторы в пространстве рассматриваются отдельно на странице векторы в пространстве.
Найдём расстояние между точками \(A(1,-2,3)\) и \(B(4,2,3)\). Разности координат равны \(3\), \(4\) и \(0\). Поэтому \(AB=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5\). Точки лежат на одном уровне по третьей координате, поэтому задача фактически сводится к расстоянию на плоскости.
Расстояние всегда неотрицательно: \(AB\ge 0\). Нельзя складывать разности координат без квадратов или брать только одну координату. Также расстояние между точками — это не координаты вектора: у вектора есть направление и три координаты, а расстояние является одним числом.
Чему равно расстояние между точками \(C(2,1,-1)\) и \(D(2,4,3)\)?
Главное
- Расстояние между \(A(x_1,y_1,z_1)\) и \(B(x_2,y_2,z_2)\) равно \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\).
- Нужно возвести в квадрат разности всех трёх соответствующих координат, сложить их и извлечь корень.
- Расстояние — неотрицательное число и совпадает с длиной вектора, соединяющего точки.