Расстояние между параллельными плоскостями
Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это длина отрезка общего перпендикуляра, заключённого между плоскостями. Оно равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Как находить расстояние
В стереометрической задаче сначала проводят через выбранную точку одной плоскости прямую, перпендикулярную другой плоскости. Длина отрезка от точки до пересечения с другой плоскостью и есть искомое расстояние. Для построения и обоснования перпендикуляра используют признаки перпендикулярности прямой и плоскости.
Если в условии уже найдено расстояние от точки первой плоскости до второй, дополнительных построений не требуется: это и есть расстояние между плоскостями. Полезно вспомнить определение расстояния от точки до плоскости.
Формула в координатах
Если параллельные плоскости заданы уравнениями с одинаковыми коэффициентами при \(x\), \(y\), \(z\):
то расстояние между ними вычисляют по формуле:
Найдём расстояние между плоскостями \(2x-y+2z-3=0\) и \(2x-y+2z+6=0\). Здесь \(A=2\), \(B=-1\), \(C=2\), \(D_1=-3\), \(D_2=6\). Поэтому \(d=\frac{|-3-6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3\).
Расстояние между параллельными плоскостями — это не длина произвольного отрезка между ними. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра. Также не следует путать это понятие с расстоянием от прямой до плоскости.
Какой отрезок задаёт расстояние между параллельными плоскостями?
Главное
- Расстояние между параллельными плоскостями — длина общего перпендикуляра.
- Его можно найти через расстояние от точки одной плоскости до другой.
- Для уравнений \(Ax+By+Cz+D_1=0\) и \(Ax+By+Cz+D_2=0\) используют формулу \(d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).