Подкоренное выражение
Подкоренное выражение — это число или выражение, записанное под знаком корня. Чтобы корень имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно удовлетворять условию, зависящему от показателя корня.
Условие существования корня
В арифметическом корне показатель обычно не пишут, если он равен двум: \(\sqrt{A}=\sqrt[2]{A}\). Поэтому для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(A\ge 0\). Это условие называют областью допустимых значений выражения с корнем.
Например, в выражении \(\sqrt{x-3}\) подкоренное выражение — \(x-3\). Чтобы выражение имело смысл, нужно решить неравенство \(x-3\ge 0\), то есть \(x\ge 3\). После нахождения допустимых значений можно переходить к извлечению корня.
Определим, при каких \(x\) имеет смысл выражение \(\sqrt{2x+6}\). Подкоренное выражение \(2x+6\) должно быть неотрицательным: \(2x+6\ge 0\). Отсюда \(x\ge -3\).
Подкоренное выражение — это всё, что находится под знаком корня, а не только буква или число рядом с ним. В записи \(\sqrt{x^2+1}\) подкоренное выражение — \(x^2+1\). Кроме того, условие \(A\ge0\) относится к корням чётной степени; для корня нечётной степени, например \(\sqrt[3]{-8}\), отрицательное подкоренное выражение допустимо.
При каком условии выражение \(\sqrt{5-x}\) имеет смысл?
Главное
- Подкоренное выражение — это выражение под знаком корня.
- Для корня чётной степени оно должно быть неотрицательным: \(A\ge0\).
- Для корня нечётной степени подкоренное выражение может быть любым действительным числом.