Рациональные корни многочлена
Рациональные корни многочлена можно искать не перебором всех дробей, а по специальному признаку: числитель корня делит свободный член, а знаменатель делит старший коэффициент. После составления списка кандидатов их подставляют в многочлен и проверяют.
Признак рациональных корней
Пусть \(P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) — многочлен с целыми коэффициентами, а \(\frac{p}{q}\) — его рациональный корень, причём \(p\) и \(q\) взаимно просты и \(q>0\). Тогда:
Значит, чтобы получить возможные корни, нужно выписать все делители свободного члена \(a_0\) и старшего коэффициента \(a_n\), а затем составить дроби \(\pm\frac{p}{q}\). Это только список кандидатов: каждый из них необходимо проверить подстановкой или делением многочлена на линейный множитель.
Рассмотрим \(P(x)=2x^3-3x^2-8x+12\). Свободный член равен \(12\), старший коэффициент — \(2\). Возможные рациональные корни имеют вид \(\pm\frac{p}{q}\), где \(p\) делит \(12\), а \(q\) делит \(2\). Среди кандидатов есть \(x=2\). Проверка: \(P(2)=2\cdot2^3-3\cdot2^2-8\cdot2+12=0\). Следовательно, \(2\) — рациональный корень.
Признак не утверждает, что каждое число из списка является корнем. Он только ограничивает перебор. Например, для многочлена с \(a_0=6\) и \(a_n=2\) число \(3\) может быть кандидатом, но корнем станет лишь при условии \(P(3)=0\). Если \(a_0=0\), то \(x=0\) сразу является корнем; после вынесения \(x\) признак применяют к оставшемуся многочлену.
Какие числа могут быть рациональными корнями многочлена \(6x^2+5x-4\)?
Главное
- Для корня \(\frac{p}{q}\) в несократимом виде: \(p\mid a_0\), а \(q\mid a_n\).
- Сначала составляют список возможных рациональных корней, затем проверяют каждый подстановкой.
- При нулевом свободном члене сначала выносят множитель \(x\); полезно также повторить понятие корня многочлена и свойства коэффициентов многочлена.